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1、年 级八年级学 科数学版 本通用版课程标题利用三角形学问解决问题编稿老师董志臣一校吕丽娟二校黄楠审核郭莹一、综合驾驭三角形各种性质、定理1. 三角形中的重要性质、定理：三种重要线段高、角平分线、中线作用：高垂直对边、角平分线平分的角相等，中线平分对边三角形三边的关系随意两边之和大于第三边；随意两边之差小于第三边。三角形中，两边长分别是3、5，则周长的取值范围是多少？三角形的内角和、外角和内角和180度，外角和360度一内角为80度，请推断该三角形的形态？2. 建立相应的数学思想（1）方程思想的应用。列方程解决三角形中相关的角和面积的问题。（2）分类探讨的思想。依据题目分类别探讨可能发生的不同状
2、况。（3）转化的思想。将困难图形转化成简洁图形求解。（4）由特别到一般的思想。总结规律性的内容。二、关于协助线的运用目前所学添加的协助线主要有两种：1. 作平行线，利用平行关系求角度。如三角形内角和定理的证明。2. 构造三角形，利用内、外角关系解题。如图，A=，B=40，C=20，O =4，则=20度。可延长BO与AC相交，将问题转化为三角形的问题。方法归纳：内、外角关系的学问点应留意以下几点：（1）运用方程和不等式协助解题的时候，以下留意计算的精确性以及依据比例或倍数所设的未知数间的倍数关系。（2）各特性质及定理在运用的时候要抓住定理的关键点，比如外角关系中重要的是“不相邻”、多边形的定义要
3、强调“在同一平面内”。（3）数学思想的建立也不是一两节课、一两道题所能形成的，要通过不断的练习和总结，同学们才能形成这种基本思想。技巧归纳：总结规律类习题留意探究前面所形成的数字或图形的规律，找到相同点，此为规律中的共同内容，不同点则要找寻变更规律。分类探讨类习题多方位考虑问题，画出明确图形，选择正确结果，总结结论类习题留意探讨前面含有详细数据的结论是否有变更，再总结最终结论。求较困难图形中多个角的度数和的问题。总结：1. 仔细审题，充分理解各定义、性质、定理，通过已知条件找寻与所学学问的联系。 2. 敏捷运用协助关系，恰当添加协助线，将困难图形转化为所学内容进行解题。例题1 如图，平原上有A
4、、B、C、D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府打算投资修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小。解析：水池只有建在四边形ACBD对角线的交点处才符合要求，取随意一点，由三角形随意两边之和大于第三边可推导出结论。答案：解：连接AC、BD交点即为所求点，任取一点，连接AP、CP、DP、BP，则AP+CPAC，BP+DPBD，当在AC、BD交点时，到四个顶点距离和最小。即H点在AC、BD的交点时，它与四个村庄距离之和最小。点拨：本题是三角形三边关系在实际生活中的应用，留意最小距离和的条件。例题2 已知a，b，c是ABC的三条边，化简下列式子|a-b-
5、c|-|a+b-c|+|a-b+c|= 。解析：要化简式子|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|的值，就要知道它们的肯定值里的数是正数还是负数，依据三角形三边的关系：随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边可知。答案：解：a-b-c0，a+b-c0，a-b+c0。|a-b-c|-|a+b-c|+|a-b+c|=-（a-b-c）-（a+b-c）+（a-b+c）=3c-a-b。故答案为：3c-a-b点拨：本题考查了三角形的三边关系，随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边，难度适中。1. 由特别值总结结论型习题总结结论类的习题一般题目前面会给我们肯定的特别值进行计算，然后依据多
6、个不同数值的计算，总结出一般性的结论。留意驾驭：（1）利用所学学问点通过数据进行基本计算，将不同数据的计算结论相比较，从中找寻一般性的结论；（2）结论的说明过程，也就是将前面的计算过程中数据的详细值转换成字母表示。（3）总结出的一般性结论，可以用来作为公式或定理运用，推广到同类习题的填空、选择习题中运用。例题 如图，在ABC中，AD平分BAC，P为线段AD上的一个点。PEAD交直线BC的延长线于点E。（1）若B=30，ACB=70，则ADC= 度，E= 度；（2）若B=58，ACB=102，则ADC= 度，E= 度；（3）若B=m，ACB=n，且nm，请用含m、n的式子表示ADC、E的度数。（
7、写出结论即可，不须要证明）解析：（1）由AD平分BAC，得到BAD=CAD=BAC，依据三角形的内角和定理求出BAC的度数，依据角平分线的定义求出BAD的度数，依据三角形的外角性质得到ADC的度数，依据三角形的内角和定理即可求出E的度数；（2）和（3）的解法与（1）的求法类似，即可求出答案。答案：解：AD平分BAC，BAD=CAD=BAC，（1）B+ACB+BAC=180，B=30，ACB=70，CAB=80，BAD=80=40，ADC=B+BAD=30+40=70，PEAD，DPE=90，E=90-70=20，故答案为：70，20。（2）B=58，ACB=102，与（1）解法类似求出ADC=
8、68，E=22，故答案为：68，22。（3）ADC的度数是，E的度数是。2. 运动变更型习题本类习题是将习题的图形进行不同位置的变更，图形本身所具有的基本已知条件发生肯定的变更，但结论不随图形的变更而变更，不要被图形的位置变更所影响，应做到以下几点：1. 仔细读题，弄清习题的条件和要求。2. 充分联想回忆所学过的学问和题型，看和我们驾驭的哪部分内容有关系。3. 从各个不同的角度分析题意，不要被运动变更所影响。4. 适当的添加协助元素。例题（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C、ABC中，A=40，则ABC+ACB= 140度，
9、XBC+XCB=90度； （2）如图2，变更（1）中直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍旧分别经过点B、C，那么ABX+ACX的大小是否变更？若变更，请举例说明；若不变更，恳求出ABX+ACX的大小。解析：（1）在ABC中，利用三角形的内角和等于180，可求ABC+ACB=180-A，即可求出ABC+ACB；同理，在XBC中，BXC=90，那么XBC+XCB=180-BXC，即可求出XBC+XCB的值；（2）不发生变更，由于在ABC中，A=40，从而ABC+ACB是一个定值，即等于140，同理，在XBC中，BXC=90，那么XBC+XCB也是一个定值，即等于90，于是
10、ABX+ACX的值也不变，等于140-90=50；答案：（1）140，90。解：（2）不发生变更。A=40，ABC+ACB=180-A=140，（三角形内角和等于180）YXZ=90，XBC+XCB=90，（三角形内角和等于180）ABX+ACX=140-90=50。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 在一个三角形中（）A. 肯定有一个角等于60B. 肯定有一个角大于60C. 肯定有一个角小于60D. 至少有一个角不小于602. 如图长方形中的阴影部分，左边的面积（）右边的面积.A. B. C. = D. 无法确定*3. 如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则A与
11、1、2之间保持一种数量关系始终不变，请试着找一找这个规律，你发觉的规律是（ ）A. A=1-2B. 2A=1-2C. 3A=21-2D. 3A=2（1-2）*4. 三角形内部有2019个点，将这2019个点与三角形的三个顶点连接，将三角形分割成互不重叠的三角形共有（）个。A. 2019 B. 4026 C. 4027 D. 4028*5. 如图，ABCD， OE平分BOC，OFOE，POCD，ABO40，则下列结论： BOE70； OF平分BOD；POEBOF；POB2DOF。其中结论正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题*6. 如图，ABD、ACD的角平分线相交于点P，若A=50
12、，D=10，则P的度数为。*7. 如图，在ABA1中，B=20，A =A A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2C=A1C A2；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3D=A2D A3；，按此做法进行下去，则An的度数为_。*8. 将图中三角形纸片依据虚线方向折叠，原三角形面积是这个图形面积的1.5倍。已知图中三个阴影三角形面积之和为1，那么原来三角形的面积是。三、解答题9. 如图，在RtACB中，ACB=90，A=25，D是AB上一点。将RtABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，求ADB是多少度？*10. 探究：（1）如图12与BC有什么关系？为什么？
13、（2）把图ABC沿DE折叠，得到图，填空：12_BC（填“”“”“=”），当A40时，BC12_。（3）如图，是由图的ABC沿DE折叠得到的，假如A30，则xy360（BC12）360 ，猜想BDACEA与A的关系为 。*11. 如图，O是ABC的三条角平分线的交点，OGBC，垂足为G。 （1）猜想：BOC与BAC之间的数量关系，并说明理由； （2）DOB与GOC相等吗？为什么？*12. 如图1，在平面直角坐标系中，AOB是直角三角形，AOB=90，斜边AB与y轴交于点C。（1）若A=AOC，求证：B=BOC；（2）如图2，延长AB交x轴于点E，过O作ODAB，若DOB=EOB，A=E，求A的度数；（3）如图3，OF平分AOM，BCO的平分线交FO的延长线于点P，A=40，当ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），问P的度数是否发生变更？若不变，求其度数；若变更，请说明理由。1. D 解析：A. 不肯定，例如：90，45，45；B. 有可能是两个，例如：70，70，40；C. 不肯定，例如：60，60，60；D. 正确。故选D。2. C 解析：两个阴影部分加上下面的空白三角形是同底等高的两个三角形，面积相等。3. B 解析：连接AA DAE=DAE（它们是同一个角），2=EAA+
