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1、第9节线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角.二面角的常用方法：(1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转 化到一个三角形中求解.(2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度董.【规律技巧】平面角的作法常见的有定狡法：垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质.【典例讲解】【例1】 如图，在四棱锥几ABCD中,昭丄底面ABCD,力丄AD,AC丄CD, ZABC=6QQ ,PA=AB=BC, E是 PC的中点.(1) 求储和平面刃所成的角的大小：证明：/IF丄平面PCD;(3) 求二面角A-PD-C的正弦值.(1)解在四棱锥中，因P4丄底面ABCD、肋
2、匕平面ABCD、故刃丄力久 XAB丄PACAD=A, 从而SB丄平面PAD、故P3在平面P1Q内的射影为PA, 从而Z/!%为和平面丹所成的角.在 RtAPAB 中故 ZAPB= 45 所以P8和平面刊所成的角的大小为45(2) 证明在四棱锥P-ABCD中, 因必丄底面S磁，如平面ABCD、 故 CDLPA由条件 CDS PAQAC=A, 丄平面PAC.又 ME 平面 Q4C, :.AEICD。由 PA=AB=BC, ZABC=6Y ,可得 AC=PA.TF是的中点，A AEPC.又PCQ CD= C,综上得4F丄平面PCD.【变式探究】如图所示，在四棱锥P-ABCD中,底面 朋是正方形，侧棱
3、PZ?丄底面ABCD、PD=DC. E是PC的中点“作EFLPB交于点几(1)证明刊平面EDB；证明储丄平面EFD;(3) 求二面角C-PB-D的大小.(1)证明如图所示，连接力C, AC艾BD卡0,连接F0底面ABCD是正方形,点0是的中点.在厶PAC.EO是中位线，:.PA/EO,而EX平面EDB豆PA4平面EDB、P4平面 EDB.【针对训练】1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，Q4丄底面ABCD. AC=2错误!，PA=2、E是PC上的一民PE=2EC(1)证明：PC丄平面BED；(2)设二面角A-PB-C为90 ,求勿与平面P8C所成角的大小.解在平面内过点力作AGkP
4、B, G为垂足.因为二面角A-PB-C为90 ,所以平面以0丄平面PBCa又平面PABQ平面PBC=PB,故SG丄平面PBC、AG1BC因为与平面10内两条相交直线；SG都垂直，故BC丄平面PAB、于是BC1. AB,所以底面力BCD为正方形，AD=29=错误! = 2错误!.设Q到平面PBC的距离为d因为AD BC、且力氏牛岳PBC,Bg平面PBC、故九?平面咖，A.。两点到平面股?的距离相等，即d=AG=错误!。设与平面P%所成的角为a9則sin Q=错谋!=错谋!.所以PQ与平面P%所成的角为30 o【练习巩固】1、如图所示，在多面体ABQQCBA，四边形AA.B.B, ADD .ABC
5、D均为正方形,E为BQ的中点，的平面交CD】于F。(I)证明：EF/B& ；(II)求二面角EfD Bi余弦值。BiB第1燉图【答案2络3(2014 湖北卷)如图1.4,在棱长为2的正方体ABCD。中，E,F, ,分别 是棱朋，AD、4久人2的中点，点P, 0分别在棱Q久 上移动，且DP=BQ= A (0 4 2).(1)当久=1时，证明：直线平面科0.(2)是否存在 儿使面曰羯与面P0W所成的二面角为直二面角？若存在，求出A的图1。44. (2014 - 课标全国卷II)如图1o 3,四棱锥P。ABCD中.底面ABCD为矩形，刃丄平面ABCD, F为的中点.(1)证明：PB平换AEC;设B5O 0) S0),则CS,错误!, 0),错误!=伽 错误!,0).设心=(%,必z)为平面力处的法向量，则错误!即错误！可取。=错课!。又=(1, 0,0)为平面的法向量，由題设易知IcosSs| =错误!，即错误!=错误!，解得心错误!。因为F为 勿的中点，所以三棱锥；力的鬲为错误!三棱锥E.ACD的体积$=错误!X错误! X错误! X错误! X错误!=错误!.
