《探究“由递推公式：an+1=qan+d求通项公式的方法”》由会员分享，可在线阅读，更多相关《探究“由递推公式：an+1=qan+d求通项公式的方法”（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课题：探究“由递推公式：a =qa+d求通项公式的方法”（两课时）n+1 n张家口市第一中学：赵霞 一.课型: 探究、拓展型.二教学内容分析：（一）内容依据噺人教A版“普通高中课程标准实验教科书数学必修5 ” 课本69页复习参考题B组第6题：“已知数列a 中，a =5,a =2,n12a =2a+3a（n3）,对于这个数列的通项公式作一研究，能否nn1n2写出它的通项公式？”（二）教学分析：此题是在学生已学过的“等差及等比数列通项公式的 推到方法:迭加，迭乘及迭代”基础上的拓展题目，要求学生能对递推结构a = qa+ d进一步深入理解，并对已学方法在熟练的基础上能达到灵活应用， n+1n要求比
2、较高，也是处理数列问题的重要方法.三学情分析：学生通过前面等差及等比数列的学习，对于数列由递推求通项的常规方 法：迭加， 迭乘及迭代，已有初步的了解，并已能简单的应用，但对比较复 杂的式子的变形还未接触.四教学活动的设计目的：本节内容是在学生学习了数列（等差、等比）的所有基础知识之后，基 于课本题目所隐含的较复杂的递推公式求通项公式的方法，通过探究学习， 充分发挥学生自主思考，团队协作，相互讨论的教学形式，教师通过引例层 层深入，充分利用数学类比及化归的数学思想，发挥数学联想的作用，培养 学生自主探究学习及互助学习的能力（分层教学），有助于学生进一步理解 等差及等比数列的定义及通项公式的应用，
3、使得学生学习数列的思维能力进步的提升、发展和创新 五教学目标：1)通过复习小题回顾由递推求通项的方法:迭加,迭乘及迭代；(2) 由简单的变型题目引导学生探究：a = qa+ d型的处理方法；n +1n(3) 使学生了解a =Pa +qa 型题目的处理方法“迭加，迭乘nn1n2及迭代及解方程组”六教学重、难点：重点:巩固由递推求通项的方法“迭加、迭乘、迭代”；了解处理a =P a +q型的方法；nn1难点：引导学生利用已学方法去及a =Pa +qa 型递推求通项.nn1n2七教学基本流程厂复习回顾“迭加、迭乘、迭代”学生回忆“迭加、迭乘、迭代方法”广qa” + d型递推求通项自主探究总结方法通过
4、引例自主探究课本69页第6自主探究a =P a+q a型递推求通项.nn1n2小结，作业八教学辅助：投影仪、多媒体等九教学过程设计:(一)复习回顾：(多媒体)问题(1)：等差：a等差数列及等比数列的定义式？(学生板书)=q, Ci 2)a = d (n22)；等比：*n-1a*问题(2)：n-1等差数列及等比数列的通项公式？学生板书)等差：aqn-11问题(3)：=a + (n-1) d；等比：a = a1n等差数列及等比数列的通项公式的推导方法？学生回答，多媒体展示)由递推公式求通项公式的常用方法( 1 )a a =d 型迭加法：nn 1a = a +(a - a )+(a - a )+(
5、2 ) a型迭乘法：n = qan - 1a 二 an+ (a - a ) (n 2)；nn -1aaxxxa2a312ax - (n 2)； ann-13)迭代法(二)引例：已知数列 a满足a =3 a - 4(nGN+),且a = 3nn+1 n(1) 令b= a- 2(nGN+),求证：数列b 为等比数列；n nn(2) 求数列 a 的通项公式. (多媒体展示)na =n+14=3b+2,nb +2n+1b =3bn+1 n(学生自主做,用投影仪展示学生答案)解(备用)：( 1 )由 b= a- 2，得 a =b+2， n nn n由a =3 a - 4(nN+),得 b +2=3(b+
6、2)- n+1 nn+1n*/a = 3,.b = 1,由上可知，b H0,：b二3为常数11n希bn数列b 是以b = 1为首项，以3为公比的等比数列 n1(2) 由 (1)可知：b=lX3n-ia =2+3n-inn变形：例1.已知数列an满足a =2a - 4(n22)，且a二6, nn-11求数列a的通项公式.n(学生自主探究或互助探究)体现分层教学，教师巡查发现，引导点拨(用投影仪展示学生答案) 解法一(备用多媒体展示)：由a =2a -4(n22),nn-1得 a -4=2 (a - 4)Va =6, a -4=2,由上可知，a -4H0,nn-111n-1a - 4 - 2为常数
7、，.数列 a -4是以2为首项，以2为公比的等比 乙na - 4n-1数列，: a -4= 22n-i=2n 即 a =4+2nnn分析：待定系数法：由 a =2a -4，设 a+x =2(a +x), 则 a =2a +x, nn-1nn-1nn-1由上可知 x=-4 型如：a - qa + d的递推公式求通项公式的方法：n+1n法一：待定系数法：由a =qa +d，设a +x =q (a +x),则解出x,构造等 n+1nn+1n比法二：迭代法：由 a = 6, a =2a - 4 (n22)得，1nn-1当 n22 时，a =2a - 4=2 (2a - 4) - 4nn-1n-2=22
8、a -2X4-4=22 (2a - 4) -2X4-4n-2n-3=23a - 22X 4-21X 4-20X 4n-3=2n-1a - 2n-2X 4- 2n-3X 4- - 20X 4 1=2n-1a - (2n+2n-1+ +22)1=2n-1 X 6-2/1 - 2 1)2n-11-2=32n+4-2n+1=2n+4,显然a =6也符合上式，：a =4+2n1n点评：a =qa + d型递推求通项方法：利用待定系数法，化成比的形式.n+1n练习：已知数列an(1) 若满足a =2a +3(n22)，且a= 1,求a ；(用投影仪展示学生答案)nn-11n(2) 若满足2a =3a -1
9、(n22)，且a= 3,求a ；(用投影仪展示学生答案)nn-11n(教师巡查，个别“学困生”单独辅导) 解：设 a+x =2(a +x),则 x=3, .a +3 =2(a +3)nn-1nn-1Va =1, .a +3=4,由上可知,a +3#0,11n.数列 a +3是以4为首项,以2 为公比的等比数列n.*.a +3= 42n-i=2n+i 艮卩 a =2n+i-3nn由 2a =3a T,设 2(a +x) =3(a +x),则 x=-1,.2(aT) =3(a T)nn-1nn-1nn-13Va= 3a-1=2,数列 a-1是以2为首项，以 为公比的等比数列11n3 a-1=2()
10、n-1 即a =2(n3)n-1+12点评： pa=qa +r 型, 设 p( a +x) =q(a +x) n n-1nn-1(3) 若满足(n+1)a =na -1 (n22)，且 a = 2,求 a ；nn-11n(师生互动,)解： (3) (n+1)(a -1) =n(a -1)Va= 2 a-1=1 nn-111由上可知，a-1H0 a 1 nn-1=an 1 n + 1当n22时a 1 a 1a 1 ,a 1 = ( a l)xxx x(n n 2)n1a2 1 a3 1an 112n 1234n1xxxx x345n+ 1121x2xn+1n +1=2. 1 - n + 3显然a
11、 =2也符合上式，：a =n + 3十丄 一1nn + 1n + 1n + 1例2（课本69页复习参考题B组第6题）.已知数列a 中，a =5, a =2, a=2a +3a(n3),n12nn1n2对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式？（多媒体展示）教师提示：此题从结构形式上看与pa =qa +r型相似，pan n-1n=qa +r型中出现了连续两项，采用构造“比”，用待定系数法但次题中出 n-1现了连续三项，是否可化成两项的形式，化成“比”的结构，用待定系数法？ （学生自主思考或小组讨论，自由发言）分析：a =2a+3ann-1（师生互动，教师板书）化成“a +x a =y
12、( a +x a ) ”n-2n n-1n-1n-2解：设 a +xa =y( a+x a J,则 a =(y-x) a+xy a、nn-1n-1n-2nn-1n-2由 a =2a+3a ，得 y-x=2 且 xy=3nn-1n-2解得：x=1, y=3 或 x=-3, y=-1.a + a =3( a + a)，或 a 3 a=-( a3 a)nn-1n-1n-2nn-1n-1n-2由a =5,a =2 得a + a =7 , a3 a = - 131 2 =2 1 2 = 2 1由上式 a + a H0,a 3 a H0 n-1n-2n-1n-2 a + aa 3a 十=3,一十=1,an
13、 + a1an 3an -1n 一 1n 一 2n -1n - 2数列a 1+a , a 1-3a 都是等比数列+1 nn+1Kan+1+a =7X3n-1，a解方程组:-3 a =-13X(-1) n-1 n+1 na +a = 7 x 3 1n -1a 3a = -13 x (1)n-1n +1nX 3 1 + 13 X ( 1)n -14得an点评：利用待定系数法将a =pa+q ann1n2化成a +xa =y( a +x a )利用解方程组的方法nn1n1n2练习：已知数列a 中，a 1,a 2,a a +2 an12n+1n求数列 a (投影仪展示学生答案)n-1(n22),-1n(备用)解：由 a =a +2 a (n22),nn 1n+1设 a +x a =y( a +x a)，贝Ua =(y-x) a +xyn+1n 八 nn-1，n+1 n 1由 a =a +2 a ，得 y-x=1 且 xy=2n+1nn 1解得：x=1, y=2 或 x=-2, y=-1an-1a + a =2( a
