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1、课时规范练22平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题1.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kR),d=a-b.如果cd,那么()A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向答案:D解析:由cd且d0,则存在使c=d,即ka+b=a-b,则(k-)a+(+1)b=0.又a与b不共线,k-=0,且+1=0.k=-1.此时c=-a+b=-(a-b)=-d.故c与d反向.2.若a+b+c=0,则a,b,c()A.都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B.一定不可能构成三角形C.都是非零向量时能构成三角形D.一定可构成三角形答案:A解析
2、:当a,b,c为非零向量且不共线时可构成三角形,而当a,b,c为非零向量且共线时不能构成三角形.3.已知向量a=(cos ,-2),b=(sin ,1),且ab,则tan等于()A.3B.-3C.D.-答案:B解析:a=(cos ,-2),b=(sin ,1),且ab,tan =-.tan=-3.4.已知A,B,C是平面上不共线的三点,且|=|=|,动点P满足(1-)+(1-)+(1+2),R,则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心B.ABC的垂心C.ABC的重心D.AB边的中点答案:C解析:取AB的中点D,则2.(1-)+(1-)+(1+2),2(1-)+(1+2)=.又=1,P,C,D三
3、点共线,点P的轨迹一定经过ABC的重心.5.若平面内共线的A,B,P三点满足条件=a1+a4 027,其中an为等差数列,则a2 014等于()A.1B.-1C.-D.答案:D解析:由=a1+a4 027及向量共线的充要条件得a1+a4 027=1.又因为数列an为等差数列,所以2a2 014=a1+a4 027=1,故a2 014=.6.已知平行四边形ABCD,点P为四边形内部或者边界上任意一点,向量=x+y,则0x,0y的概率是()A.B.C.D.答案:A解析:根据平面向量基本定理,点P只要在如图所示的区域AB1C1D1内即可,这个区域的面积是整个四边形面积的,故所求的概率是.来源:学科网
4、二、填空题7.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a0,b0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则的最小值是.答案:8解析:=(a-1,1),=(-b-1,2).A,B,C三点共线,.2a+b=1.=4+4+2=8,当且仅当时取等号.的最小值是8.8.设向量a=(4sin ,3),b=(2,3cos ),且ab,则锐角=.答案:解析:ab,4sin 3cos =23,sin 2=1.为锐角,=.9.在ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=.答案:(-6,21)解析:=(-3,2),=2=(-6,4).=(-2,7),=3=(-6,2
5、1).10.已知向量a=,b=(x,1),其中x0,若(a-2b)(2a+b),则x=.答案:4解析:a-2b=,2a+b=(16+x,x+1).由题意得(8-2x)(x+1)=(16+x),整理得x2=16.又因为x0.所以x=4.11.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于y轴,a=(2,-1),则b=.答案:(-2,0)或(-2,2)解析:设b=(x,y),则a+b=(x+2,y-1).由a+b平行于y轴,可得x+2=0,即x=-2.又由|a+b|=1可得|y-1|=1,解得y=0或y=2,则b=(-2,0)或(-2,2).三、解答题来源:12.在ABC中,M为边BC上任意一点
6、,N为AM中点,=+,求+的值.解:M为边BC上任意一点,可设=x+y(x+y=1).N为AM中点,=+.+=(x+y)=.13.已知点A(-1,2),B(2,8)以及=-,求点C,D的坐标和的坐标.解:设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).因为=-,所以有解得所以点C,D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而=(-2,-4).14.已知P为ABC内一点,且3+4+5=0,延长AP交BC于点D,若=a,=b,用a,b表示向量.解:-a,-b,又3+4+5=0,3+4(-a)+5(-
7、b)=0.a+b.设=t(tR),则ta+tb.又设=k(kR),由=b-a,得=k(b-a).而=a+,故=a+k(b-a)=(1-k)a+kb.来源:由得解得代入得a+b.15.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),tR.(1)求|a+tb|的最小值及相应的t值;(2)若a-tb与c共线,求实数t.解:(1)a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),a+tb=(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t).|a+tb|=来源:数理化网=,当且仅当t=时取等号,即|a+tb|的最小值为,此时t=.(2)a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2
8、-t),又a-tb与c共线,c=(3,-1),(-3-2t)(-1)-(2-t)3=0.解得t=.四、选做题1.已知ABC和点M满足=0.若存在实数m,使得=m成立,则m=()A.2B.3C.4D.5答案:B解析:如图所示,由=0知,点M为ABC的重心,设点D为边BC的中点,则由向量加法可知:=2.由重心的性质可知:|=|,而且同向,则.=2=3,因此m=3.2.来源:如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为.答案:(2-sin 2,1-cos 2)解析:如图,作CQx
9、轴,PQCQ,Q为垂足.根据题意得劣弧的长为2,故DCP=2弧度,则在PCQ中,PCQ=弧度,|CQ|=cos=sin 2,|PQ|=sin=-cos 2,所以点P的横坐标为2-|CQ|=2-sin 2,P点的纵坐标为1+|PQ|=1-cos 2,所以P点的坐标为(2-sin 2,1-cos 2),故=(2-sin 2,1-cos 2).3.ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-),n=,且mn.(1)求锐角B的大小;(2)如果b=2,求SABC的最大值.解:(1)mn,2sin B=-cos 2B,sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.又B为锐角,2B(0,),2B=,B=.(2)B=,b=2,由余弦定理cos B=,得a2+c2-ac-4=0.又a2+c22ac,代入上式,得ac4,当且仅当a=c=2时等号成立.SABC=acsin B=ac,当且仅当a=c=2时等号成立,即SABC的最大值为.
