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1、双曲线及其标准方程教学设计与反思一、设计理念：创设情境，促进学生自主学习、探究学习，充分发挥学生的主体作用，培养学生的探索发现能力，培养学生运用数形结合的思想方法分析问题和解决问题的能力。二、教材分析 （一） 本节课在教材中的地位及作用 “双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”、“抛物线及其标准方程”是圆锥曲线的三种曲线方程，也是平面解几的核心内容。双曲线及其标准方程的概念与椭圆及其标准方程相类似。教材处理也相仿。在整个平面解几中，所处的地位作用是一样的。学好本节课内容是学好圆锥曲线关键之一，对后面能进一步理解掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线性质，从而借助形和数的对应关系，把形的问题转化为
2、数来研究。再把数的研究转化为形来讨论。这是解几的基本思想和基本方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。 （二）教学目标：知识与技能：理解双曲线的概念及其标准方程。 过程与方法：通过画板演示、数形结合，从运动变化观点来认识、掌握双曲线及其方程，增强学生分析问题，解决问题的能力情感态度与价值观：对学生进行辩证唯物主义思想的教育，使学生学会认识事物的运动规律。培养学生善于探索的思维品质。（二） 教学重难点和关键： 重点：双曲线的定义、及其标准方程。难点：双曲线定义的理解，标准方程的建立。关键：能正确运用双曲线的定义建立方程。（三） 教学基本思路：由于“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”从
3、教材地位、作用以及内容极其相似，在建立双曲线及其标准方程概念之前，先复习回顾椭圆的定义、标准方程，再提出问题引入概念。由于轨迹问题通过板画无法达到意想的效果，又是本节课的教学关键。在教学中，借助于几何画板演示轨迹 ，讨论轨迹，引导学生说出轨迹 的定义、轨迹的变化情况（即参数关系）从而引出双曲线定义，提高学生分类讨论、数形结合的能力。三、学法指导：在教学中，注意面向全体学生，发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，激发学生的求知欲和学习积极性，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法。调动学生的非智力因素来促进智力 因素 的发展，引导学生积极开动脑筋，思考问题和解决问题。四
4、、教法选择：教学方法 ：直观教学法、启发发现法、类比教学法、电化教学法理论根据：为了调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习。教学中引导学生从复习回顾“椭圆及其标准方程”通过类比引出双曲线的定义，在概念的理解上，用步步设问、来加深理解。在概念的建立上 ，借助电脑，演示轨迹变化的动画过程，从而使学生直接地接受并提高学生的学习兴趣和积极性，很好地突破难点和提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。充分体现了“教师为主导，学生为主体”的教学原则。五、教学过程设问1：椭圆是如何定义的?及标准方程如何? 平面内到两定点的距离之和等于一定值的点的轨迹是椭圆. 其标准方程: 焦点在x轴
5、上 (ab0) 焦点在y轴上 (ab0)（设计说明：双曲线与椭圆是同类有心曲线，它们从定义、方程到几何性质极其相似。为了更好地理解和掌握双曲线的概念及其性质，在引进双曲线定义之前，先回顾椭圆定义及其与定义密切相关的参数变化很有必要。为此先复习演示椭圆）问题提出设问2：若把椭圆定义中的与两定点的“距离之和”改成“距离之差”,这时轨迹又是什么?设问几个问题：(1)轨迹叫什么曲线？(2)其中|MF1|与|MF2|哪个大？(3)点M与F1，F2的距离之差是|MF1|-|MF2|还是|MF2|-|MF1|？(4)如何统一两距离之差？（设计说明：问题提出后再演示双曲线轨迹，其目的是为加深对定义的理解。）双
6、曲线的定义：平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值是个常数2a(小于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫双曲线。两定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。轨迹讨论：讨论a与c的关系(1)0ac:动点M的轨迹是什么？0ac:动点M的轨迹又是什么？ac:动点M的轨迹不存在。（违背三角形边的关系）（设计说明：由于椭圆与双曲线中，参数a与c的大小关系对轨迹的影响，在学生的印象中比较淡薄，往往容易出错，再次展示a与c的大小关系对轨迹的影响，便学生加深对轨迹的认识。）建立方程：按下列四步骤进行：建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程。双曲线标准方程焦点在x轴上 (a0,b0) 焦点在y轴上 (a
7、0,b0) 其中：c2=a2+b2 记忆：正项定焦轴（设计说明：在给出双曲线的第一种标准方程之后，可直接通过对换坐标而得第二种标准方程。）例题解析：例1：已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。变式(1)：若两定点为F1(0,-5),F2(0,5)则轨迹方程如何？变式(2) ：若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程如何？（设计说明：本例与变式（1）是在已定的坐标系下直接利用双曲线的标准方程来解决轨迹方程。变式（2）是在未定坐标系下建立轨迹方程，其目的在于培养学生全面考虑问题的能力。）课堂练习：求适合下列条件的双曲线方程： (1)a=4,b=5,
8、焦点在y轴上。 (2)a=3,c=5 (3)a=2,焦点在x轴上，且过点A(5,2)（设计说明：课堂练习与例题配套，目的在于进一步巩固建立轨迹方程。）六、课堂小结：定义：平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值是个常数2a(小于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫双曲线。两定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。椭圆与双曲线比较椭 圆双 曲 线定 义MF1|+|MF2|=2a|MF1|-|MF2|=2aa,b,c关系ab0a2=b2+c2ca0c2=a2+b2方程焦点在x轴上焦点在y轴上（设计说明：由于双曲线与椭圆内容极其相似，所以在课堂小结上有必要进行比较以加深学生对知识的理解和掌握。）七、教
9、学反思：在本节课中结合双曲线的教学的特点，一定要让学生动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是引导学生思考的方向，这样不但增强了学生的参与意识而且教给了他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生有所思，思有所得，练有所获，从而提高学习兴趣。这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，而采用讨论式，引导学生探索，重视探索过程在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”。本设计致力于展示图象是如何生成的。在图象的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力。体现了教师是用教材教，而不是教教材。这节课是学生在教师的引导下，进行逐步探索的过程。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步理解并掌握双曲线的方程，初步学会如何由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程，并渗透数形结合法思想。本设计体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。5
