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1、 中学常见数学思想方法方法一 函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，始终是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动改变的观点，分析和探讨详细问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态探讨，从变量的运动改变、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及探讨参数的取值范围等问题；二是
2、在问题的探讨中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所探讨的问题转化为探讨函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的相互转化、接轨，达到解决问题的目的.【例1】 设等差数列的前项的和为，已知.（1）求公差的取值范围；（2）指出、中哪一个值最大，并说明理由.【分析】 （1）利用公式与建立不等式，简洁求解的范围；（2）利用是的二次函数，将中哪一个值最大，变成求二次函数中为何值时取最大值的函数最值问题.【解】（1） 由12,得到122，所以126612(122)66144420，137813(122)78156520. 解得：.（2）解法一：（函数的思想） 因为，故最小时
3、，最大.由得，故正整数6时最小，所以最大.解法二：（方程的思想）由可知.因此，若在中存在自然数，使得，则就是，中的最大值 , 故在、中的值最大【点评】 数列的通项公式及前项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求敏捷地运用、奇妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性.ABOF【例1】 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，其中m0,（1）设动点P满意
4、,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的肯定点（其坐标与m无关）.【解】 （1）由题意知，设，则 化简整理得.（2）把，代人椭圆方程分别求出， 直线 直线 、联立得.（3），直线，与椭圆联立得直线，与椭圆联立得直线,化简得令，解得，即直线过轴上定点.【点评】 本题主要考查求简洁曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础学问，考查运算求解实力和探究问题的实力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P的轨迹方程，都敏捷运用了方程的思想，特殊是在证明过程中更是很好地利用方程的有关学问，使问题画繁为简，华难为易.方法二 数形结合的思想方法正确利用数形结合，应留
5、意三个原则：（1）等价性原则数形信息的转换应当是等价的、充要的.要留意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.（2）双向性原则数形结合的含意是双向的，即考虑问题既留意代数问题几何化，也留意几何问题代数化，而不仅仅指前者.（3）简洁性原则有了解题思路，思索用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简洁性原则，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路变得形像而通畅;
6、其次，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系)，突显问题的本质，另辟解题的捷径;第三，数形互助：依据问题的须要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：1.探讨函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到显明的启示.2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探究几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，探究函数或方程的性质.3.从统计图表、
7、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探究相关的结论.这类数形信息的转换实力是近年高考的新亮点.4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.5.复平面与复数、向量的沟通.6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，开拓解题的新思路.【例1】 （12年上海模拟）若函数满意，且时，函数，则函数在区间内的零点个数为_.【答案】9【解】由题意，干脆求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求的零点,可以转化为求与两函数图像的交点.则画出与的图像,由于在上为,且为周期函数,周期为2,而是分段函数,留意其图像共分为三部分,如图
8、,可等共有9个交点,其中有一个易错点,即其中1个交点为(1,0)很简洁被遗漏. 【点评】 要求在区间内的零点的个数，可转化为求与交点的个数，可以作出图形，视察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数.【例2】 函数y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f(x)f(x)十x【解】 解法一：（以数助形）由题意及图像，有，（1）当0f(x)+x得+x, 解得0x;（2）当1x+x, 解得1x，而方程f(x)= 的解为x=，据图像可知原不等式解集为1, )(0, ).【点评】 本题以形看数（解式，奇偶性），以数解形（曲线交点A、B），
9、最终以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短方法三 分类探讨的思想方法1.通常引起分类探讨的缘由，大致可归纳为如下几点：(1)涉及的数学概念是分类定义的；(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；(3)涉及题中所给的限制条件或探讨对像的性质而引起的；(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；(5)涉及的几何图形的形态、位置的改变而引起的；(6)一些较困难或特别规的数学问题，须要采纳分类探讨的解题策略解决的.2.分类探讨的步骤一般可分为以下几步：(1)确定探讨的对像及其范围；(2)确定分类探讨的标准，正确进行分类；(3)逐类探讨，分级进行；(4)
10、归纳整合，作出结论.其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必需对相关学问点或涉及的概念、定义、定理相当清晰，对于一些结论成立的条件驾驭坚固，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必需进行分类探讨，而何时无须探讨，从而可以知道怎样进行分类探讨.【例1】（12年上海二模）点是函数图像上的随意一点，点，则、两点之间距离的最小值是_.【答案】【解】 当时，.时，即y9或y3，取最小值0，但都为负数，不成立；当时，.当y4时，取最小值为综上所述，、两点之间距离的最小值为【点评】 由于题中给出的是肯定值函数，须要利用分类探讨的思想去掉肯定值，然后再求解.体现了数学概念是分类定义的而引起的分类探讨.【例2】设
11、等比数列的公比为，前项和，求的取值范围.【分析】在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分1和1两种状况.【解】是等比数列，且前项和，且当时，；当时，即.上式等价于 或 ,由得,由得,的取值范围为.【点评】本题正是分类探讨中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体现.【例4】已知实数,函数若,则的值为_.【答案】【解】首先探讨，与1的关系.当时，所以；.因为，所以，所以；当时，所以；.因为，所以，所以（舍去）.综上，满意条件的.【点评】本题的解题关键在于探讨，与1的关系，正是体现了数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的分类探讨.方法四 概括归纳的思想方法概括是在思维中
12、将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性.归纳是一种逻辑型的思维形态，是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质和法则的归纳，如数列的基本性质，对数运算的法则的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物理中的应用等；第三类是归纳猜想，如由表格所给数据归纳几个连续奇数的和等.【例2】在数列中， =13 ，且前项的算术平均数等于第项的2-1倍（N*）（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并用数学归纳法证明【分析】（1）利用数列前项的算术平均数等于第项的2-1倍，推出关系式，通过=2，3，4，5求出此数列的前5项；（2）通过（1）归纳出数列的通项公式
13、，然后用数学归纳法证明第一步验证=1成立；其次步，假设=猜想成立，然后证明=时猜想也成立.【解】（1）由已知= ， =（2-1），分别取=2，3，4，5，得，所以数列的前5项是：， ， .（2）由（1）中的分析可以猜想（N*） 下面用数学归纳法证明：当=1时，猜想明显成立.假设当=（1且N*）时猜想成立，即 那么由已知，得，即所以，即，又由归纳假设，得，所以，即当时，猜想也成立.综上和知，对一切N*，都有成立【点评】 本题考查数列的项的求法，通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用，留意证明中必需用上假设，考查计算实力，分析问题解决问题的实力正是体现了概括归纳的思想方法.方法五 化归与等价变换
14、的思想方法在解决数学问题时，常遇到一些问题干脆求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题（相对来说，对自己较熟识的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转换化归思想”.而转换化归思想的基本原则就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.1.利用转换化归思想解决数学问题时必需明确三个问题：（1）把什么东西进行转换化归，即化归对像；（2）化归转换到何处，即化归转换的目的；（3）如何进行转换化归，即转换化归的方法.2. 化归与转化常遵循以下几个原则.（1）目标简洁化原则：将困难的问题向简洁的问题转化；（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更匀称和恰当；（3）熟识化原则：将生疏的问题转化为熟识的问题，以利于我们运用熟知的学问、阅历和问题来解决；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：即当问题正面探讨遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解3转化与化归常用到的
