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1、三角恒等变换专题讲义 李 霞知识点1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角和与差的余弦公式注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负） 2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后 3.会逆用及其变形2.两角和与差的正弦注： 1.公式中两边的符号相同 2.式子右边异名三角函数相乘再加减 3.会逆用及其变形3.两角和与差的正切公式tan(+)=tan(-)= 注：1.两角和时，上加下减 2.两角差时，上减下加 3.会逆用及其变形考点1：求值问题【例】求下列各式的值（1） cos75 （2） cos75cos15sin255sin15 (3） sin47sin47cos30 co
2、s17（4） 1+tan75 1tan75（5） tan20+tan40+tan20tan40考点2：化简问题【例】化简下列各式(1) sinx+cosx (2) sinxcosx知识点2：两倍角的正弦、余弦和正切公式1. 两倍角的正弦公式 Sin2=2sincos2.两倍角的余弦公式 Cos2=.cos-sin=2cos1=12sin3. 两倍角的正切公式 tan2=注：对以上三个公式会逆用及其变形考点：求值问题【例1】已知：sincos=，则sin2= 【例2】计算求值 知识点3：简单的三角恒变形1. 半角公式（1）（2）（3） 2. 和差化积（1）（2）（3）（4）3. 积化和差（1）（
3、2）（3）（4）4. 辅助角公式辅助角公式：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用考点1：化简求值问题（1）升幂化简【例1】若，化简【例2】化简： 【例3】是第三象限角，化简 【例4】化简 （2）降幂化简【例1】求函数的最小值【例2】函数最小正周期为 【例3】函数的单调递增区间为_（3）切化弦【例1】求sin50（1+tan10）的值【例2】（tan10）（4） 巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，等）【例1】已知，求的值 【例2】已知，且，求的值 【例3】已知：锐角和，满足sin（）=，
4、sin=，求sin的值【例4】已知：tan（+）=，tan（）=，求tan（）的值（5） 辅助角【例1】已知函数（1） 求函数的最小正周期及取得最大值时x的取值集合（2） 求函数图像的对称轴方程 【例2】已知函数，且，。（1） 求的单调递减区间（2） 函数的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数【例3】已知函数y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）（1） 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到【例4】已知函数。（1） 求的最小正周期；（2） 求函数的最大值，并求使取得最大值的x的集合。（6）关于的
5、关系的推广应用（由于故知道，必可推出）【例】已知。（7）利用公式：及“托底”方法求值 【例1】 已知：tg= -3，求sincos-cos2的值 【例2】 已知：tg=3，求的值考点2：证明问题证三角恒等式时，先观察左右两边：是否同名函数？如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为正弦和余弦（异名化同名）是否同角函数？如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同角）；次数是否相同？如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”；是繁还是简？一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如果两边都繁，则变两边（左右归一），有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆项（1）异名化同名【例1】 求证： 【例2】求证 =【例3】求证：【例4】求证:tanA+cotA=.【例5】求证：（2）异角化同角【例1】求证： 【例2】求证：（3）降次【例1】求证 【例2】求证 （4）化繁为简【例1】求证： 【例2】求证：（5） 角的配凑 【例1 求证： 【例2】求证：cos20cos40cos80=
