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1、3.1.5空间向量运算的坐标表示对点讲练知识点一空间向量的坐标运算.例1 设a=(1,5,1), b = (2,3,5).(1) 若(ka+b)(a3b),求 k；(2) 若(ka+b)(a3b),求 k.解(1)ka + b = (k- 2,5k + 3-16).因为(ka + b)(a - 3b),-k + 5) ,a - 3b = (1 + 3X2,5 - 3X3 , - 1 - 3X5) = (7 , - 4 , k-2 5k+3-k+51所以；-= ，解得k =-,.7-4- 163所以(k-2)X7 + (5k + 3)X(-4) + (-k + 5)X(- 16) = 0 ,解得
2、(2)因为(ka + b)(a-3b), ,106 k = 3.【反思感悟】以下两个充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握.若a = (x1,z1), b = (x2, y2, z2),则 ab=X=2x2 且 y1=y2，且 z1=Az2(AeR)； ab +y1y2+z1z2 = 0.已知 A(3,3,1), B(1,0,5),(1) 线段AB的中点坐标和长度；(2) 到A, B两点距离相等的点P(x解(1)设M是线段AB的中点，3 AB的中点坐标是(2, 2，3).片，.变式迁移1求：y, z)的坐标x, y, z满足的条件.则OM =成满=或函+两=(2, % 3),所以线段AB = .
3、,： (1 3)2+(03)2+(5 1)2=0.(2)点P(x, y, z)到A, B两点距!(x3)2+(y3)2+(z1)2=&x1)2+(y0)2+(z5)2,化简，得4x+6y 8z+7=0.即到A, B两点距离相等的点P(x, y, z)的坐标x, y, z满 足的条件是4x+6y8z+7 = 0.知识点二证明线面的平行、垂直例2在正方体ABCDAlBlClDl中，E, F分别为BBCD的中点，求证：DF平面ADE.证明，不妨设已知正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), E (2, 2, 1), F (0, 1
4、, 0), D 1 (0, 0, 2),所以 AD = (2,0,0), dTF=(0,1, 2), AD-dTF=0+0+0=0,所以 D/上AD.XAE= (0,2,1),所以AE、 dTF=0+22 = 0,所以 D1FAE.又 ADA AE=A，所以 D1F 平面 ADE.一【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数，且易确定，在今后会常用到.曲理空已知 A( 2,3,1)，B(2，一5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD 为平 行四边形.证明设O为坐标原点，依题意OA = (-2, 3，1)， OB = (2, -
5、5, 3)，. AB = OB 一 OA =(2, 5,3) - (一 2,3,1)=(4, 8,2).同理可得 DC =(4, 一 8,2),A =(6,6,5),BC =(6，向.由 ab = -AB DC，AD = BC，可知 AB AB， AD BC ，所以四边形ABCD是平行四边形.知识点三向量坐标的应用例3棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O、O2、O3分别是平 面ABCD、平面BBCC、平面ABCD的中心.(1) 求证：b1o3pa；(2) 求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值;求PO2的长.证明 以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x
6、轴、y轴、z轴建立如图 所示的空间直角坐标系D-xyz.A(1,0,0)，1 八七1-2 ,_ 1) , PA = (1,0 ,- 2)，则 B(1,1,1)，o3(2，2,0)，P(0,0，B1O 3 = (-|,-|,-1),Pa = (- BO3.P4=-1 + 0 + | = 0 ,即 BO3 P4AB1O3P4.(2)解VO(2 , I , 1) , O2(| , 1 , |),则。2史-po. =( 21)，2)，11如000+(22*-52.cosPO3 ,OO2=一巫-3，.异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值为普.(3).P(0,0,1) , 02(2 , 1 , 1),P
7、02 =(| , 1,0) .IP0 21 =-0)2 + (1 -0)2 + (1-2)225.【反思感悟】在特殊的几何体中建立空间直角坐标系，要充分利用几何体 本身的特点，以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关变式迁移3系的论证、角及距离的计算变得简单.直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面AABC 中，CA = CB=1,ZBCA=90, AA1 =2, N是AA1的中点.(1) 求BN的长；(2) 求BA1, B1C所成角的余弦值.解以C为原点建立空间直角坐标系，则(1)B(0,1,0.BN = -J(1 - 0)2 + (0 - 1)2 + (1 - 0)2 =V
8、3.(2)A1(1,0,2) , C(0,0,0),B1(0,1,2).BA1 = (1 ,BA1 bTC= 1. cosBA1-36 x、h-1,2),B1C=(1 ,-1,2) ,B1C=(0,-1 ,-2),-4 =- 3 , IBA11 = 拓,iBCl = 5 ,BC= BA，B1C1+BA1IIB1CI号0 .BA, B1C所成角的余弦值为籍.课时作业一、选择题1.已知点A(x1,片，Z1)，则点A关于xOz平面的对称点A，的坐标为()A(x1，y1，z1)B. (%, y1, z1)C. (x1,y1, z1)D. (x1, y1，z1)答案C解析点a与A，关于xOz平面对称，即
9、AAZ平面xOz.且A、A，到面xOz的距离相 等，所以A与A，的x,z的值相同，y的值互为相反数.2.已知 a=(2,3,4), 6 = (4,3,2), b=2x2a，则 x 等于()A.(0,3,6)B.(0,6,20)C.(0,6,6)D.(6,6,6)答案B解析: b x - 2a ,二x 4a + 2b (0,6 ，- 20).3.A.C.已知 a=(sind, cos。，tan。)，b = (cos0, sin。，法)，有 a上b,则 0 等于()兰萨4B,4nn2kn(kEZ)D. kn. (kEZ) 乙l答案D解学析 ab 2sin0cos0 + 1 sin20 + 1 0
10、,nn20 2kn - 2,0 kn - 4. 乙l84.右向重 a=(1，A，2)，b = (2，1,2)，cosa，b)=，则 A 为()A. 2B.222C.2 或55D. 2 或一3答案Cab6 - A 8解析由 cosa , b | b| ； 9 ,wi 3,：5+A2 92化得55A2+108A - 4 0，由此可解得A - 2或A 55.5.已知 a=(cosa， 1， sina)，b = (sina， 1， cosa)，则向量a+b 与 ab 的夹角是()A. 90B. 60C. 30D. 0答案A解析|a| |b| 2 ,(a + b)-(a - b) a2 - b2 0.二
11、、填空题6. 模等于2仍且方向与向量a = (1,2,3)相同的向量为.答案(、巨，2粗，3血)解析设bAa(A0).则 A2 + 4A2 + 9A2 28 , A2 2，故 A 克.7. 已知三个力f = (1,2,3)，=(1,3，1)，f3 = (3，4,5)，若f1，f2, f3共同作用于 一物体上，使物体从点M1(1，2, 1)移动到点M2(3,1,2)，则合力所做的功 .答案16解析合力 f -f+f2+f3 (3，1，7),位移 s (2,3,1),.功 w fs (3,1,7)(2,3,1) 6 + 3 + 716.8. 已知点 A(2， 5， 1)， B( 1， 4， 2)，
12、 C(A+3， 3， )在同一直线上，则 A =， =.答案7 3解析 AB (-3,1 ,- 1) , AC(A+1,2 ,+1),则J AB AC ,-1A + 1 2 + 1 所以-3 1故 A + 1 -6,+1- 2.即 A-7, -3.三3答题9. E, F分别是正方体ABCDA1B1C1D1中线段A1D, AC上的点，且DE=AF=|aC.求证：(1)EFBD1； (2)EFA1D.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=1，则A(1,0,0),B(1,1,0) , C(0,1,0) , D(0,0,0)，A1(1,0,1) ， D1(0,0,1)，(11 13。3，(2
13、 1 F 宇30 .I3 3 7球七，3BD1 = ( - 1，- 11)=- 3EF.:.BD1 /EF，又 F BD，EFBD.(2)aD1 = (- 1,0，- 1)，e 一 111)EF 曾13,3-3)(-1，0，-1)二-1 工 0_ 3 3 0，. EF A1D，即 EFA1D.10.,如图所示，正四棱柱 ABCDA1B1ClD1 中，AA2AB=4,点 E 在 CQ 上且 CE=3EC.证明: A1C平面 BED.证明 以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线 DD为z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz.依题设 B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A(2,0,4).DE =(0,2,1)，DB = (2,2,0)，A1C = ( - 2,2，-4)，DA1 = (2,0,4).因为 A1C DB = 0，A1C DE =(-2,2，-4)， 故 A 1CBD，A1CDE.又 BDUDE = D， 一 *所以A1C平面BED.
