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1、微分方程辅导 3.1 一阶微分方程知识概述 )基本概念一阶微分方程 具有未知函数的一阶导数的方程 或 解 满足微分方程的可微函数。通解 满足方程的,具有一种任意常数的可微函数。定解条件 未知函数满足的关系 .定解 使用定解条件从通解中拟定任意常数得出的2)一阶方程(可分离,线性，齐次,贝努利*,全微分方程*)分类求解 可分离方程 -基本题型求通解 分离变量后不定积分： 注意一边积分写上任意常数。求定解 初始条件,作变限积分: 线性方程 -重点题型求通解 先化作以上原则形式，再套用如下公式 非齐次通解公式(其中) (常用） (变通使用)齐次通解公式 求定解 在通解中代入初始条件求C。注意 当方程
2、同步还属于其他类型时，一般优先选择依线性方程求解。 齐次方程 求解要点 代换 后分离变量为: Beolli方程 ()求解要点 代换 后化作线性方程(注意对比系数)：.常用题型与考点【题型1】【基本问题考察典型解法,细节解决】【题型】【综合问题增长对解函数的继续讨论】【题型3】【变形问题变量对换，变量代换运用】C. 范例分析与解答【题型1】【基本方程求解典型解法,细节解决】细节-合理辨认类型,运用初始条件排除分支;绝对值符号的解决； （1） 设 ,求.解1（看作分离变量方程,常规解法：先通解-再特解)分离变量: 两边积分： ， 求得通解: ()拟定常数: 由定出. 所求定解为 解2（看作分离变量
3、方程，迅速解法:直接求定解)分离变量： )两边作变限积分: 所求定解为： 解(推荐解法,看作线性齐次方程,用通解公式)线性齐次: 由于 故可以取 求得通解: 再由 定出 （2） 解1（看作齐次方程) 变量代换:令，方程化为: ,分离变量: ，两边积分有 ， 得 , 即 代入初始条件:,得 ,所求定解为 解2(看作ernoull方程）化作 ， 记，得：原则化： 由线性方程通解公式, 所求通解为代入条件得 ，从而 （3）解(使用线性方程通解公式,波及到分段函数的定积分计算）由题知 通解为 定解为 【题型2】【讨论解函数(极限、积分计算，大小控制)-看作两道小题】(4） 解 初始条件变形，要讨论解函
4、数的极限 .通解:由,推得，故有.（） 解(研究解函数的界，使用变限积分形式的通解公式) 定解为 由于 ,故有 【】求方程的解函数,使得解函数与直线以及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。 答案：【】若满足,。求的和函数。答案：【题型】【方程形式变化变量对换,代换的运用】（6) （互换变量的地位)解 写成: 得到函数的线性方程 , 通解为 练习 （7) (代换) 答案：(8） (代换) 答案：练习 练习 练习 (9） (代换 答案 一阶线性方程的单选题思路：求同，排异;手段:几何作图;直接计算;选用特例。 设有一阶齐次微分方程,到处持续。则不是其通解的函数为 C. D 设微分方程
5、有一种特解，则对于初始条件，方程的特解是:. B. D. 3.2 二阶线性微分方程知识概述1） 线性二阶微分方程：齐次 , 非齐次 ,2)线性二阶微分方程通解构造： 齐次通解 = 两个不成比例的齐次特解之组合： 非齐次通解 = 齐次通解+非齐特解: 3)解的叠加原理: 非齐次项:设函数是方程的解，则 是方程的解。齐次解的线性组合还是齐次解 非齐次解 齐次解 非齐次解非齐次解 - 非齐次解 = 齐次解4）常系数线性二阶微分方程求解法 齐次方程的求解环节-解特性方程 -由特性根写出基本解组 根基本解组1，03,5i3i-写通解 非齐次方程的求解环节-写相应的齐次方程的通解-写出非齐次解的待定形式（
6、六字法）-代入原方程求中的待定系数-叠加得解 同类型:指保持中指数函数正余弦函数特性，保持多项式阶数不变而系数待定。再调节:乘或。写待定式举例非齐次项特性根 基本解组要写成的 1，1, 0，01， 2，8，2，,统一规则 (1) 若则(2) 若，则特解叠加原理 对方程 可以就写，就写,相加得特解:注意 以代入方程拟定待定系数时，可用如下等式简化计算。B常用题型【题型1】【基本问题：求通解,特解；写或选】【题型2】【综合问题:对解函数继续讨论：极限,积分,大小估计】【题型3】【代换问题:通过给定的变量代换,使得在新变量下方程变简朴,然后求解】【题型4】【方程建立：懂得方程的解,运用解的构造求出方
7、程】.范例分析【题型1】【基本问题根据原则措施求解】（1)填空题真题预测 的通解_的通解_通解_解 代入求系数填代入求系数.填求系数. 填【】练习 （2）写的特解待定式. 解 于是 时 时 练习 的特解形式可设为。【题型2】【综合问题解函数的继续讨论】 求 分析 相称于齐次线性方程求定解广义积分解 特性方程 通解代入初始条件 故 , 【题型3】【变量对换或者代换方程变形后求解】对换【】 将换作觉得因变量的微分方程.并求在初始条件下方程的解解 将用表达 (考察微分运算）.,回代后得 求得通解 再求定解 因变量代换令，对 化简并求解。解 用表达.直接求得：移项 = 方程化为 解得 自变量代换【】数
8、学二 使用代换 化简 ,并求其满足的解。解 令,得化简的 (考察微分计算）的方程 , (初始条件不动)再根据常系数线性齐次微分方程求解便可成功：定解 【题型4】【给解函数构造方程求解】 （1） 使用叠加原理造线性微分方程 已知某二阶非齐次线性微分方程的三个解,， 求此二阶非齐次线性微分方程及其通解解（应用叠加原理求出齐次方程的基本解组，再设法推出特性值,得到特性方程后便可写出齐次微分方程，再代入一解函数，便可以定出非齐次项)由 ,得齐次方程的解函数及特性值:；由 ，得齐次方程的解函数及特性值: ；于是,特性方程为 或 微分方程为 最后裔入,得 而通解为 (2)由通解中消除任意常数得方程（齐次，给两个解）已知是某二阶齐次线性微分方程的解函数，建立此微分方程。解 为通解,故本题相称于由通解求方程。两边对求导两次:消去便得到所求的二阶线性（变系数）微分方程： (3) 已知一解及方程的架构,求此线性微分方程及其通解 已知方程有一解，则通解为解 以解函数代入，得恒等式：对比系数，得 故方程为 由 得故通解 .练习 若是常系数方程 的一种解,则其通解为
