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1、第二章 平面向量.平面向量的实际背景及基本概念【知识点归纳】1平面向量的概念:2.向量的表达:(常用的2个向量)3相等向量与共线向量:【典型例题】题型一 向量的基本概念例.给出下列命题:向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在始终线上;两个单位向量是相等向量; 若a=b， b=,则ac;若一种向量的模为0,则该向量的方向不拟定；若|b|,则。 若a与共线, 与c共线,则a与c共线其中对的命题的个数是（ ）A个 .2个 C3个 D.4个例2下列命题对的的有 a与b共线，与共线，则a与c也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量a与不共线，则a与b都是非零向量有相似起点的
2、两个非零向量不平行题型二 向量的表达例3.一辆汽车从A点出发向西行驶了00km达到B点, 然后又变化方向，向西偏北45走了200km达到C点, 最后又变化方向,向东行驶了100km达到点. (）作出向量,，；(2)求题型三 相等向量与共线向量例如图,设是正六边形的中心,分别写出图中与向量，,相等的向量，共线的向量。题型四 运用向量解决多点共线的问题例如图,四边形ABCD中，,P，是AD,B上的点，且,求证：综合练习:1 下列命题中，对的的是( )A.若|a|，则a=b B. 若a=b,则与b是平行向量C.若|b|,则ab D. 若a与b不相等,则向量a与b是不共线向量2下列说法中错误的是( )
3、A.零向量是没有方向的 .零向量的长度为.零向量与任历来量平行 零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 4.已知非零向量a,若非零向量a，则c与b关系是 5.已知a、b是两非零向量,且a与不共线,若非零向量c与a共线,则c与b必然 .鉴定下列命题的正误:零向量是惟一没有方向的向量。 ( ）平面内的单位向量只有一种。 ( )方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。( )向量a与b是共线向量,bC,则与c是方向相似的向量。 （ ) 相等的向量一定是共线向量。 ( )7. 下列四个命题中,对的命题的个数是 共线向量是在同一条直
4、线上的向量 若两个向量不相等，则它们的终点不也许是同一点 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 若四边形A是平行四边形，则与,与分别共线.2 平面向量的线性运算2.2. 向量的加法2.2.2 向量的减法2.2.3 向量的数乘【知识点归纳】1向量的加法：2.向量加法的平行四边形法则：3.向量的加法的运算率:4向量的减法：5.向量减法的平行四边形法则：6向量数乘的概念:7.向量的数乘的性质：8向量共线的条件:9.向量的线性运算0.向量证明三点共线:三角形的中线与重心公式:【典型例题】题型一 向量的加减法例1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为的是（ ）A. B.C D.例2如图所示，D、E、F分
5、别是ABC的边AB、CA的中点,则=（)A.B.CD题型二 向量的作图例3已知在矩形AD中，宽为,长为,a, ,c，试作出向量a+c,并求出其模的大小例已知向量a、c、d,求作向量a-b、-OADBCMNN题型三 用已知向量表达未知向量例如图所示，OADB是以向量,=为边的平行四边形,又BMBC,CND试用，表达,，变式:设D、F分别为BC的边C、CA、AB的中点,且=a，=b,给出下列命题：=-a-b ab +b +=.其中对的的命题个数为 ( ) 1B .3D.4 题型四 向量的加减法综合运用例6.设两个非零向量、不是平行向量（1)如果=，=28，=3(）,求证A、B、三点共线；(）试拟定
6、实数的值，使+和是两个平行向量例7.已知O是CD的对角线A与D的交点,若=, =b,=c，试证明:+a-b=综合练习：1下列命题对的的有 单位向量都相等 长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量若a,b满足|b且a与b同向，则a对于任意向量a、b，必有|a+b|a|+|2 如下四个命题中不对的的有 若为任意非零向量,则a0 | +b=a|+b|a=b,则|a|=|b|，反之不成立 任一非零向量的方向都是惟一的3.已知,则的取值范畴为 4. 设（+)（+）= ，,则在下列结论中,对的的有 ;=; +=; |+化简.如图,在四边形ABCD中,根据图示填空:ab ,b+c= ，= ,a+c-d=
7、 .2 平面向量2.31平面向量基本定理【知识点归纳】1平面向量的基本定理:向量的夹角:【典型例题】题型一 基底的鉴定例1.设1、e是同一平面内的两个向量,则有( )A.e1、e2一定平行 .、e2的模相等C同一平面内的任历来量a均有a =e1+e2(、R)D若e1、e2不共线，则同一平面内的任历来量a均有 =e+e2(、uR)题型二 用基底表达向量例2.已知ae3e2,b=422,其中e1，e不共线，向量c=-3e1+12e2，用试用a,作为基底来表达c题型三 向量的夹角例.已知两个非零向量a,的夹角为80，求下列向量的夹角:(1)与-b （2）2a与b练习：1.已知向量a = 12e,b
8、=2e1+e2，其中e、2不共线，则+b与c=6e1-2e的关系A.不共线 B.共线 C.相等 .无法拟定.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足（x4y）1+(2x3y)e2=61e2,则x-的值等于（ ）A. B-3 C.0 .2.已知a、b不共线，且c 1(，),若与b共线，则1= .3. 平面向量的正交分解及坐标表达2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.平面向量的共线的坐标表达【知识点归纳】1.平面向量的正交分解：2.平面向量的坐标表达:3.平面向量的坐标运算：4平面向量共线的表达:5.三点共线:【典型例题】题型一 求向量的坐标例.已知点A(2,） (-2,) C（4，6） D(-5
9、，6） E(-2,-) F(-5，-6）在平面直角坐标系中,分别作出向量并求向量的坐标。题型二 平面向量的坐标运算例2 已知=(2，）, =（-3,4),求+，,3+4的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1）， B(-1,3),C(，4)，求点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.例4已知三个力 (, 4)， （，-5), (x, y）的合力+=，求的坐标.练习：1若M(3， -2) (-5， ) 且 ， 求P点的坐标.若A(0,1）， (1，2)， C(，4)，则-2= .3、下列各组向量中，能作为表达它们所在平面内所有向量的基底是（ ）A BC D4.已知,则等于（ ）A B
10、 C D.5已知平面向量 ， ,且2，则等于( )A B. C D.6已知，,若与平行,则等于（ ）. A 1 B. -1 C.1或-1 D.27.已知,则的坐标为_.8 . 已知，,，,则以，为基底，求.题型三向量共线的证明及鉴定例5已知A（-1， 1)， （1,3）, （1,）,D(2,7),向量与平行吗?直线A与平行于直线CD吗？题型四 向量共线求参数例6 已知，,且，求练习：1.若向量=(-1，x)与（-x， 2)共线且方向相似,则x为_.2.设,，且，求角题型五 三点共线例: 已知,，求证、三点共线.例3:设点P是线段P1P上的一点， 1、P的坐标分别是(1，y）,(x2,y）.(1) 当点P是线段P1P的中点时,求点的坐标； (2) 当点P是线段1P2的一种三等分点时,求点P的坐标.练习：1.若=(2，3),=(4,-y)，且，则=( )6 B. C. D8.若(x,-1），B（1，3），C(,5)三点共线，则x的值为（ ）A.3 B-1 C. D.3.若=i+2j， =(-)i+(4)j(其中i、的方向分别与x、y轴正方向相似且为单位向量). 与共线，则、y的值也许分别为( ）A，
