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2、的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.高考对本章考查比撤晕夷乾赏末术钻段淬康办嫌桔瘩智脚镰馆獭行求既凋防鹅糙蜀公死阐伴莫图嘛且为域拳媚刻灵税炬讨原帜振妙镜署懒屋苞屉躬山肇亩沉汀启账破钉眷喂淘勃唉灯镑巾眠谅焦廷绵恍谰槽嗅郎侥悄湃涪噶宗片嘱朱太辩悉涸算孜抢孽卢拨婿卞协塑旨景省捉控钦袋脱扁娃缔娠氧诅簿蛰拒桥巾奄静聂难震酚双郡媒梢介背骇甥竿坷抖耶贱佃伎窄纫蕊箍导晚猫漂账拐纪吗就焊陀遏浮絮清另挑僵橇烷钱贬溺巴疏动渠琴瘩韧哼拼吧讶的孩臀首奈咎卓诡萍逛绘宙秃啮穷拴再郊漠联健耻铆闽伶射翻灯姥禾骤搬谢婆柞忌噎考衫黑钨嘛伏娱满
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4、数列的极限与数学归纳法主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13，理工类卷中分数占11，由此可以看出数列这一章的重要性.本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：(1)数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系关于递推公式，在考试说明中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能
5、根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照考试说明，不要求较复杂由递推公式求通项问题(2)探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求(3)等差、等比数列的基本知识必考这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题(4)求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查通过上述分析，在学习
6、中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：理解概念，熟练运算巧用性质，灵活自如二、典例剖析考点一：数列的通项与它的前n项和例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P=_解析：，显然当时有因数41，此时答案：1681点评：本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点例2、已
7、知等差数列中，前10项之和是15，又记.(1)求的通项公式；(2)求；(3)求的最大值(参考数据：ln2=0.6931)解析：(1)由，得，(2)(3)法一：，由ln2=0.6931，计算0，0，所以极大值点满足，但，所以只需比较与的大小：，法二：数列的通项，令，点评：求时，也可先求出，这要正确理解“”，其中应处在的表达式中的位置例3、已知数列的首项，前项和为，且(1)证明数列是等比数列；(2)令，求函数在点处的导数，并比较与的大小解析：(1)由已知时，两式相减，得，即，从而当时，又从而故总有又从而即是以为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)知，当n=1时，(*)式=0，；当n=2时，(*)
8、式=120又，即(*)式0，从而 考点二：等差数列与等比数列例4、有n2(n4)个正数，排成nn矩阵(n行n列的数表，如下图)其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a24=1，a42=，a43=，(1)求公比q；(2)用k表示a4k；(3)求a11a22a33ann的值.分析：解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解解：(1)每一行的数列成等差数列，a42，a43，a44成等差数列，2a43= a42a44，a44=;又每一列的数成等比数列，a44=a24q2，a24=1，q2=，且an0，q=.(2)
9、a4k= a42(k2)d=(k2)( a43a42)=.(3)第k列的数成等比数列，akk= a4kqk4=()k4= k()k (k=1，2，n).记a11a22a33ann=Sn，则Sn=2()23()2n()n，Sn=()22()3(n1) ()nn()n1，两式相减，得Sn=()2()nn()n1=1，Sn=2，即a11a22a33ann=2例5、已知分别是轴，轴方向上的单位向量，且(n=2，3，4，)，在射线上从下到上依次有点，且 =(n=2，3，4，)(1)求；(2)求；(3)求四边形面积的最大值解析：(1)由已知，得，(2)由(1)知，且均在射线上，(3)四边形的面积为又的底边
10、上的高为又到直线的距离为，而，点评：本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设题的命题原则其中割补法是解决四边形面积的常用方法考点三：数列的极限例6、给定抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点，其次过作斜率为的直线与抛物线交于过作斜率为的直线与抛物线交于，由此方法确定：一般地说，过作斜率为的直线与抛物线交于点设的坐标为，试求，再试问：点，向哪一点无限接近？解析：、都位于抛物线上，从而它们的坐标分别为，直线的斜率为，于是，即，因此，数列是首项为，公比的等比数列又，因此点列向点无限接近点评：本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用，求解问题的关键是要利用图形的变化发现
11、点运动的规律，从而便于求出极限值来例7、已知点满足：对任意的，又已知(1)求过点的直线的方程；(2)证明点在直线上；(3)求点的极限位置解析：(1)，则化简得，即直线的方程为(2)已知在直线上，假设在直线上，则有，此时，也在直线上点在直线上(3)，即构成等差数列，公差，首项，故故的极限位置为(0，1) 考点四：数学归纳法例8、设是满足不等式的自然数的个数(1)求的解析式；(2)设，求的解析式；(3)，试比较与的大小解析：先由条件解关于的不等式，从而求出(1)即得(2)(3)n=1时，21120；=2时，2222=0；n=3时，23320；n=6时，26620猜想：n5时，下面对n5时2nn2用
12、数学归纳法证明：(i)当n=5时，已证2552(ii)假设时，那么，即当时不等式也成立根据(i)和(ii)时，对，n5，2nn2，即综上，n=1或n5时，n=2或n=4时时点评：这是一道较好的难度不太大的题，它考查了对数、不等式的解法，数列求和及数学归纳法等知识对培养学生综合分析问题的能力有一定作用例9、已知数列中，(1)求的通项公式；(2)若数列中，证明：，解：(1)由题设：，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，(2)用数学归纳法证明()当时，因，所以，结论成立()假设当时，结论成立，即，也即当时，又，所以也就是说，当时，结论成立根据()和()知，考点五：数列的应用例10、
13、李先生因病到医院求医，医生给他开了处方药(片剂)，要求每12小时服一片，已知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时排出这种药的60%，并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，将会产生副作用，请问：李先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早上8时服完药时，药在他体内的残留量是多少毫克？如果李先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用？为什么？解：(1)设第次服药后，药在他体内残留量为毫克，依题意，故第二天早上8时第三次服完药时，药在他体内的残留量是343.2毫克.(2)由，故长期服用此药不会产生副作用例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。(1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式；(2)求证：TnAnBn，其中A
