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1、平面向量的综合应用考点与题型归纳考点一平面向量与平面几何典例(2019石家庄模拟)在平行四边形 ABCD中，|AB|= 12, |AD|= 8若点M , N满 足 BM = 3MC , DN = 2NC，贝U AM NM =()A. 20B. 15C. 36D. 6 解析法一：由BM = 3MC , DN = 2 NC知，点M是BC的一个四等分点，且 BM =323 &BC,点 N 是 DC 的一个三等分点， 且 DN = DC,所以 AM = AB + BM = AB + 4 AD , AN2 3 21 1=AD + DN = AD + 3 AB ,所以 NM = AM AN = AB +
2、4 AD AD + 3 AB = 3 AB 4 3111331AD，所以 AM NM = AB + 4ADpAB 4 AD= 3AB + 4 AD- AB 4 AD=3 2 9 219AB 2 16 AD 2 = 3 14464 = 36,故选 C.法二：不妨设/ DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则M(12,6), N(8,8),所以AM = (12,6), NM = (4, 2)，所以 AM NM = 12X 4+ 6X ( 2)= 36,故选 C.答案C题组训练1.若OABC所在平面内任一点，且满足(OeB Oc) OB + OC 2OA
3、) = 0,则 ABC的形状为（）A 等腰三角形C.正三角形B 直角三角形D 等腰直角三角形解析：选a 由(6I? oc) -Ob + oc 2Oa)= 0, 得 CB - AB + AC )= 0, AB AC = CB , AB AC) -AB + AC) = 0,即 |AB |= | AC |,念BC是等腰三角形. 1 1 12. (2018西安质检)已知P ABC所在平面内一点，AB + PB + PC = 0, |AB |= | PB|= | PC |= 2，则 ABC的面积等于()B. 2.3D. 4 .3A. ;3C. 3 .3 解析：选B 由|PB|=|PC得,BC是等腰三角形
4、，取BC的中点D，连接PD(图略), 1则 PD 丄 BC,又 AB + PB + PC = 0,所以 AB = ( PB + PC ) = 2 PD ,所以 PD = AB =0 4si nc n0, 2 , 11, 且PD /AB,故AB丄BC,即ABC是直角三角形， 由| PB |= 2, |PD |= 1可得| BD 则|1BC |= 2 3，所以 ABC 的面积为 2X 2X 2 3= 2 3.3如图，在扇形 OAB中，0A = 2,/ AOB= 90 M是0A的中点，点 在弧AB上，则t 61的最小值为解析：如图，以O为坐标原点， -为x轴的正半轴，0!B为y轴的正半轴建立平面直角
5、坐标系，则M(1,0) ,B(0,2)，设P(2cos 0, 2sin 0), 所以 PM -PB = (1 2cos 0, 2sin 0) 2cos 0, 2 2sin 0 = 4 2cos，所以0= 4 2(cos 0+ 2sin 0) = 4 2/5 n( 0+ 其中sin(j)=誓，cosMt eB的最小值为4 2 .5.答案：4 2 5考点二平面向量与解析几何典例(2017 江苏高考)已知向量 a = (cos x, sin x), b = (3, ,；3), x 0, n(1)若a / b，求x的值;记f(x)= a b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解(1)因为 a
6、 = (cos x, sin x), b = (3, .3), a /b ,所以一 3cos x= 3sin x.贝U tan x=5 n又 x 0, n所以 x=.(2)f(x)= a b = (cos x, sin x) (3 3) = 3cos x 3sin x= 2 3cos x + .因为 x 0, n所以 x+ , ,n 並从而1 w cos x+ W 三.于是，当X+ n= n,即x= 0时，f(x)取到最大值3；当x +右n,即x= 5时，f(x)取到最小值一2 , 3.题组训练1. 已知向量OA = (k,12), = (4,5), 5C = (10, k),且 A, B,
7、C 三点共线，当 k0时，若k为直线的斜率，则过点(2, 1)的直线方程为 .解析：VAE? = 6eB 6a = (4 k, 7), 1BC = oC oeB = (6 , k 5)，且 N/BC, (4 k)(k 5) + 6 x 7 = 0,解得 k= 2 或 k = 11由 k | PA + PB + P C |的最大值为()A . 6B . 7C. 8D. 9解析由A, B, C在圆x2 + y2= 1上，且AB丄BC,知线段AC为圆的直径，设圆心为O, 故 PA + PC = 2PO = (-4,0),设 B(a, b),贝U a2+ b2= 1 且 a 1,1, pb = (a
8、2, b),b b b所以 FA + PB + PC = (a 6, b).b b b故I PA + PB + PC|= 12a + 37,B B b._所以当a = 1时，| PA + PB + PC取得最大值 49= 7.答案B解题技法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解.若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解.题组训练1. (2019 南昌模拟)
9、已知 a = (cos a, sin a), b = (cos( a, sin( a)，那么 a b = 0 是 an=kn+ QkG Z)的()A .充分不必要条件B 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析： 选 BTab = cos a co a+ sin a sin a = cos2 a sin 2a= cos 2 a,若 a b = 0,nnn则 cos 2a= 0,.2 a= 2knk Z)，解得 a= kn(k Z). Aa b = 0 是 a= k n+ (k Z)的必要不充分条件.故选 B.2. 已知a , b , c ABC的三个内角 A, B, C的对边
10、，向量 m = ( 3, 1), n =(cos A, sin A).若 m 丄n,且 acos B+ bcos A = csin C,则角 A, B 的大小分别为()A n n6, 32 n nB.：3 6n nC.3 6n nD.3 , 3解析：选C由 ml n ,得 mn = 0 ,即 3cos A sin A= 0,由题意得 cos 心 0, tan A= 3,又 A (0, n).A =扌.又 acos B + bcos A= 2Rsin Acos B+ 2Rsin Bcos A = 2Rsin(A+ B)=2Rsin C = c(R 为ABC 外接圆半径)，且 acos B+ bc
11、os A= csin C,所以 c = csin C,所以 sinC= 1，又 C (0 , n)所以 C = 2,所以 B = n - 2= Q课时跟踪检测A级1.已知向量n . n5 n .5 n “a= cos6 , s% , b = cos6, sin,则 |a b|=()A. 1B並B. 2C. 3D姮D. 2解析：选C.,n5 nn5 n厂因为 a b = cos6 cos , sin sin6 = ( . 3 , 0),所以|a b|= .3 ,故选C.2. 若向量 OFi = (1,1), OF 2= ( 3, 2)分别表示两个力 Fi, F2,则 |Fi+ F2I 为()A. .10B . 2 .5C. 5D. .15解析：选 C 由于 F1 + F2= (1,1) + ( 3, 2) = ( 2, 1),所以 |F1 + F2|= 2 2 + 1 2= .5.3. (2019牡丹江第一高级中学月考 )已知圆O是厶ABC的外接圆，其半径为1,且忑+ AC = 2 AO , AB = 1,贝U CA CB =()3A2B. 3C. .-3D. 2 3解析：选B因为-B + /AC = 2-，所以点O是BC的中点，即BC是圆O的直径,X X X X又 AB = 1，圆的半径为 1,所以/ ACB= 30 且 AC =J3
