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1、双曲线学习目标】1. 掌握双曲线的定义和标准方程；2. 能利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题.3. 理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.4. 能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.5. 能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题.【要点梳理】要点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点F、F的距离之差的绝对值等于常数2a （ a大于o且2a |FF |）的动点P的1 2 1 2轨迹叫作双曲线这两个定点F、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距要点诠释：1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：iPFj-lPF=2a FF I，这可以借助于三角形12中
2、边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：PF - PF=2a 0），则动点轨迹1 2仅表示双曲线中靠焦点F的一支；若|PF|-|PF1=2a 0），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦1 2点 F 的一支；13. 若常数a满足约束条件：llPFj-lPFjA 2a = |FF |，则动点轨迹是以F、F2为端点的两条射线（包 括端点）；4. 若常数a满足约束条件：iPFj-lPFj = 2a |FF |，则动点轨迹不存在；5. 若常数a = 0，则动点轨迹为线段FF2的垂直平分线。要点二：双曲线的标准方程双曲线的标准方程：x 2 y 21.当焦点在x轴
3、上时，双曲线的标准方程：一 一厂=1 （a 0,b 0），其中c2 = a2 + b2 ；a2 b2y 2 x22.当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程：一一厂=1 (a 0,b 0),其中c2二a2 + b2 a 2 b2方程 Ax2+By2=C(A、B、C 均不为零)表示双曲线的条件Ax2 By 2x2 y2方程 Ax2+By2=C 可化为+ = 1,即 c + c 二 1,A B所以只有 A、B 异号，方程表示双曲线。cc当 0 0时，双曲线的焦点在x轴上；ABcc当 0时，双曲线的焦点在y轴上。AB要点诠释：1. 当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方
4、程形式。此时， 双曲线的焦点在坐标轴上。2. 双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲 线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ca, cb，且c2=b2+a2。3. 双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数，如果x2 项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。4. 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴 上。要点三：求双曲线的标准方程 待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，
5、设出标准方程，再由条件确定方程 中的参数a、b、c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； 定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数a、b,即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论.要点四：双曲线的简单几何性质x2y 2双曲线一一 =1 (a0, b0)的简单几何性质a 2 b2范围双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 xa.对称性x2 y 2双曲线7 = 1 (a0, b0)是以x轴、y轴为对称
6、轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的 a 2 b2中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心.顶点 双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点；x2 y 2 双曲线一-1 = 1 (a0, b0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为a 2 b2A1(-a， 0)， A2(a， 0)，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点； 两个顶点间的线段AA2叫作双曲线的实轴；设B (0, -b), B2 (0, b)为y轴上的两个点，则线段 BB2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为AA2l=2a, IBB2l=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做 双曲线的虚半轴长.要点诠释： 双曲线只有
7、两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆； 双曲线的焦点总在实轴上； 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.离心率2c c 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作e =二一；2a ac 因为ca0,所以双曲线的离心率e = 1 ；a由c2=a2+b2，可得2 =、；()2 1 = 2 1，所以色决定双曲线的开口大小，越大，ea Y a 2 aaa也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度；等轴双曲线a二b，所以离心率e =订2.渐近线b我们把直线y = bx叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交a要点五：
8、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程x 2y 21 (a 0, b 0) a 2b 2y 2x 22= 1 (a 0, b 0)a 2b 2图形ti:0 X 此？性质焦占八、八、皆,0)，/0)F (0, c)，F (0, c)1 2焦距1 FF 1= 2c (c = yja2 + b2)1 21 FF 1= 2c (c = Ja2 + b2)1 2范围x x a， y g Ry y a， x g R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点( a,0)(0, a)轴实轴长=2a，虚轴长2b离心率ce = (e 1) a渐近线方程y = bxay = axb要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已
9、知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数, 如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。 对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。 要点六：双曲线的渐近线（1）已知双曲线方程求渐近线方程：x2y 2x2y 2xyb若双曲线方程为一=1，则其渐近线方程为一=0 = y = 0 = y = x a 2b2a 2b2aba已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为mx ny = 0，则可设双曲线方程为m2x
10、2 -ny2二九，根据已知条件，求出九即 可。（3）与双曲线-牛=1有公共渐近线的双曲线a 2 b2x2 y 2x2 y2与双曲线一 1有公共渐近线的双曲线方程可设为一 + =人0丰0）（九0，焦点在x轴上， a 2 b2a2 b2xb0, ca0,且 c2=b2+a2。x2 y 2双曲线一一厂=1 （a 0,b 0），如图：a 2 b2（1）实轴长IA A I二2a，虚轴长2b，焦距I FF I二2c ；1 2 122）离心率：| PF |e 二 I PM I1I PF I I A F I I A F I2 = 11 = 2 2I PM I I AK I I AK I2 1 1 2 2(3)顶点到焦点的距离：|AF| = |AF | = c - a , |AF | = |A F| = a + c；11 1 2 2 12 1 2 1起来；APFF2中结合定义|PFj- |PFj| = 2a与余弦定理，将有关线段|PF|、PF?、|FF和角结合与焦点三角形ApF1 F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、1三角形面积公式S= PF - PF sin ZFPF相结合的方法进行计算与解题，将有关线段|PF |、|PF |、APFF 21 |212FF1 2有关角CH结合起来，建立pf|-|pf2I、卜PF2l之间的关系
