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1、数学建模论文 班级：实验1201 姓名：Scen 学号：01380 日期：/8影院座位设计问题摘 要通过研究电影院的座位设计问题,根据观众对座位的满意限度重要取决于视角与仰角这一前提条件,建立满意限度最大的有关模型，并进行了有关求解。问题一，一方面建立在满足仰角条件（30)状况下的优化模型,运用Malb软件求解出本地板线的倾角为10时，最佳位置距离屏幕的水平距离为75米。接着分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析,并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后运用软件求解出本地板线的倾角为时,最佳位置距屏幕的水平距离为68635米。问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点,建立满意
2、度函数平均值模型，再运用软件解得，本地板线的倾角为时，所有观众的平均满意限度最大。问题三,为进一步提高观众的满意限度，将地板线设计成折线形状,即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以变化,增长到后保持不变,第一排抬高米。核心词： 离散分析 加权 平均满意度 优化模型 Matlab一、问题重述下图1为影院的剖面示意图，座位的满意限度重要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边沿视线的夹角，越大越好;仰角是观众眼睛到屏幕上边沿视线与水平线的夹角,如果太大会使人的头部过度上仰,引起不舒服感,一般规定不超过。记影院的屏幕高为，上边沿距离地面高为,影院的地板线一般与水平线有
3、一种倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,观众的平均座高为（指眼睛到地面的距离),已知参数h=1m, =5m， =4m, D=1m, c=1m() 地板线倾角,问最佳座位在什么地方。(2) 求地板线倾角（一般不超过）,使所有观众的平均满意限度最大。(） 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意限度。图- 影院剖面示意图二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么规定？是一种非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意限度重要取决于观看时的视角和仰角,越大越好,而越小越好,最佳位置就是要在这两者之间找到一种契合点，使观众对两者的综合满意限度达到最大。本文通过对水平视角和仰角取权重，建立合适的坐
4、标系，从而建立一种线形型满意度函数。针对问题一,已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值,建立离散加权的函数模型并运用数学软件运算求解;针对问题二,将所有观众视为离散的点,要使所有观众的平均满意限度达到最大,即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此运用问题一所建立的满意度函数,将自变量转化为地板线倾角;针对问题三，对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意限度可以进一步提高。本文为使模型简化,更好地阐明问题,文中将作如下假设。三、模型假设观众的平均满意度只取决于视角和仰角，其她因素忽视不计；.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边沿；3相邻两排座位间的间距相等,取为
5、0.8；对于同一排座位，观众的满意限度相似；5.所有观众的座位等高为平均座高;6.影院的的地板成阶梯状。四、符号阐明水平视角视高差,即从眼睛到头顶的竖直距离仰角观众对水平视角为的满意限度地板线与水平线的倾角观众对仰角为的满意限度第一排离屏幕水平距离平均满意限度最后一排离屏幕水平距离视角、仰角在综合满意度中的权重屏幕的高度相邻两排座位间沿地板线方向的间距屏幕上边沿离地面的高度五、模型的建立与求解.1 问题一每一种到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意限度重要取决于两个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边沿的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边沿视线与水平线的夹
6、角,太大使人的头部过度上仰,引起不适,规定不超过。5.1.1 模型的建立:仰角在满足条件的范畴内,观众满意度只取决于视角BOMNP屏幕地面地板视觉线图-2 影院剖面坐标分析图xy以第一排观众的眼睛为原点,建立平面直角坐标系，如图-2所示:其中，为屏幕,为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线上任意一点的坐标为,屏幕上下点的坐标分别为,的斜率记为,的斜率记为。由斜率公式得：, (1.1）则直线和的斜率与夹角满足如下关系: (1.2)仰角满足条件:因此: (.)由公式(1.1) （12)得到模型为:5.1 模型的求解当时,用软件运算求解(程序见附录1),得最大视角为=13.917，
7、仰角为=,=1.7275米。即点的坐标为(1.727,0.3046)为最佳位置。离屏幕的水平距离为4+1.77=62275米。5.1. 模型的建立:离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为(查阅有关资料间距一般取0.8米)，则在水平方向的间距为,考虑仰角和视角对观众的满意度为重要因素。对模型进行修正，将座位持续状况进行离散化可以得到: （.)（.2)其中,，为地板线上的座位的总排数,且。根据题意，在假设条件下，对于第排座位,建立观众对视角、仰角的满意度函数如下： (2.3） (24)式中为第排座位上观众视角和仰角,表达在给定的状况下最优满意度，表达在给
8、定的状况下最差满意度。视角、仰角在综合满意度中的权重分别为，建立第排座位综合满意度函数如下： (2.5)根据地板线倾角,通过计算可以得出， ,主观给定权重,根据模型的建立，可以得出: (.)将式(.1)和式(2.2）带入公式(2.6)得到优化模型为: 5.1模型的求解用软件运算求解（程序见附录2)可得： 米,排，最大满意度为,最大视角为=3.12,仰角为,最佳位置离屏幕的水平距离为4.+2.36235=686 米。.2 问题二5.1模型的建立要使所有观众的平均满意限度达到最大,即需求的最大值。由模型可知，第排观众的满意度为,则观众平均满意限度函数为:，平均满意度的大小由每一排的满意度所决定,而
9、又是由仰角和视角所决定。因此，要使观众的满意限度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大,观众的平均满意限度就越大; () 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意限度就越大。由式(1.)可知,地板线倾角的变化将同步使所有座位的仰角和视角的大小发生变化,且在某一座位(即取某一定值),在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大,见图所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。图-3 视角和仰角随变化的变化曲线第一排观众的仰角为，不满足仰角的条件,由模型可知第排座位所相应的仰角的正切值: 其中为地板线上的座位的总排数：,随着地
10、板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距不变,但相邻两排座位间的水平间距会发生变化。由于地板线倾角不超过，因此,并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边沿，即。由模型知第排座位所相应的水平视角的正切值为:5.22模型的求解对一种取定的，判断所在的位置仰角与否超过,若超过,则该座位的综合满意度必须同步考虑仰角和视角的取值;否则，只需要考虑视角的取值,把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度与否最大,最后一排的高度与否超过屏幕的上边沿，并记下最大值时的取值。当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出，。由模型的(2.5)式得 （3.) 因此，将式(.)和式(2.2)
11、带入公式(3.1）得到平均满意度的优化模型为：用软件计算(程序见附录3)可得：最大平均满意度为,相应地板线的倾角为。5.3问题三53.1 模型的建立与求解由上两问可知,观众的满意限度与仰角,视角和地板线倾角均有关,而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度,就要考虑仰角,视角随着的变化状况。引理 地板线不管设计成什么形状，各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化，若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时,动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。要使每一种座位所相应的视角
12、取最大值,相应的y值应在直线上.设计地板线应考虑如下几种方面:(1) 第排座位所在的位置应高于第排座位所在的高度； （)前一排的观众不会挡住后一排观众的视线； ()视角尽量大,即眼睛的位置应尽量分布在垂直平分线的附近； (4)仰角的座位所占的比例尽量大。假设每排座位所在的点构成一条折线,任意相邻两排座位水平间距为，第排座位地板线倾角为,第排座位与第排座位地板线倾角变化为。从而可得:，故：同理可得： ; 观众平均满意限度函数为： ；可算出地板线上的座位的总排数为:,则得出当时,=.46。但此时,根据一般习惯，规定地板线倾角，但此时求得最后一排座位的地板线倾角为，因此文中将对此进一步的修改:当时，
13、令。当时,即将问题转化为问题二中所建立的模型。由于，则地板线倾角增长到第9排达到，然后保持不变。对于这两种状况，分别代入不同的函数，求得:满意度函数的最大值。0.4930.4520 故报告厅座位的前9排呈折线状，以递增,当倾角增长届时保持不变,且第一排应抬高米。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价 6.1 模型的长处:模型抓住了影响观众满意限度的重要因素(仰角和视角）,合理构造满意度函数。模型具有较好的通用性，对现实有较强的指引意义。6.1.2 模型的局限性以及需要改善的地方:模型主观假设同一排座位观众的满意限度相似,而实际状况并非如此,这就使得我们的模型在解决实际问题时存在一定的局限性。模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡,需要进一步的考虑在内。模型计算比较粗糙,精确度不够高！6.2 模型的推广本文中所建立模型的措施和思想对其她类似的问题也很合用,有一定的参照价值。七、参照文献1 金炜东,线性型满意度及其组合运算,铁道学报2 李祖苑,影院座位设计,中国科技论文在线 刘学智,影
