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1、计算方法上机实验指导一、数值实验报告格式及要求：1、实验目的：首先要求每一个做实验者明确，为什么要做某个实验，实验目的是什么，做完该实验应达到什么结果，在实验过程中的注意事项，实验方法对结果的影响也可以 以实验目的的形式列出。2、实验题目：在下面分若干个实验详细给出，实验者可根据报告形式需要适当改写或重述。3、实验原理与基本理论：数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的，所以要求将实验涉及的理论基础，算法原理详尽列出。4、实验内容：实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法流程图等。5、实验结果实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及实验的最终结果，复杂的结果
2、可以用表格形式实现，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现。6、实验结果分析：实验结果分析是数值实验的重要环节，只有对实验结果认真分析，才能对实验 目的、实验方法进一步理解对实验的重要性充分认识，明确数值计算方法的使用范 围及其优缺点。7、实验体会 要求：每个实验都应在计算机上实现或演示，由实验者独立用 Matlab 语言编程实 现 （ 使之尽量具有通用性 ） ，程序清单以附录形式给出，程序中至少 1/3 行要加注释， 特别要对程序中的主要变量给出说明。数值实验类型：（可以根据课时安排在讲对应章节之后完成实验）实验一 误差传播与算法稳定性1.1 实验目的体会稳定性在选择算法中的地位误差扩张的
3、算法是不稳定的，是我们所不期望的；误差衰 竭的算法是稳定的是我们努力寻求的，这是贯穿本课程的目标通过上机计算，了解舍入误差 所引起的数值不稳定性。1.2 算法描述概要：舍人误差在计算方法中是个很重要的概念。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由 于舍入误差的影响将会得到截然不同的结果。因此，选取稳定的算法，在实际计算中是十分重 要的。考虑一个简单的由积分定义的序列I =1xnexdx，n = 0,1, 2,（E.l）n e 0利用分部积分易得xn-1exdx =1- nI ,n-1n = 0,1,2,=J1 xnexdx = xnexn e 0e得递推公式I =1- nInn-1，n = 0,
4、1, 2 ,(E.2)注意到1J 1 xn e0e0dx In 1J 1 xn - e1 dxe0取11I =J 1 exdx = 1 沁 0.63212056 0 e 0e由利用(E.2 )变形得到(E.3)/ = 1 - In -1n计算方法：先估计一个I T,再反推要求的In (n N )。Nn1 1/ I e( N +1)n N +1可取11+e( N +1) N +1(当N t +8 时,|It 0)01.3 实验内容由递推关系(E.2),可以得到计算(E.1)积分序列I 的两种算法.其一为(E.2)的直接应用,n即I 二打 1 exdx 1 ,0 e0eI 1 nInn 1 ,n
5、0,1,2,(E.4)另外一种算法则是利用(E.2)变形得到的1In N 1, N 2,1(E.5)nn 1n1.4 实验要求(1) 分别用算法(E.4)、(E.5)并在计算中分别采用5位、6位和7位有效数字，请判断哪种算法能给出更精确的结果.(2) 两种算法的优劣,与你的第一感觉是否吻合.请从理论上证明你实验得出的结果,解释实验的结果.设(E.4)中I的计算误差为e，由I递推计算I的误差为e ；算法(E.5)中I的000nnN误差为* ,由I向前递推计算I (n N)的误差为8 .如果在上述两算法中都假定后面的NNnn计算不再引入其他误差，试给出e与e的关系和8与8的关系.n 0n N(3)
6、算法(E.4)中通常eo会很小，当n增大时，e”的变化趋势如何?算法(E.5)中通常相对比较大，当n减小时，误差8又是如何传播的?也就是说比较一下上述两个算法，当某一步产生 n误差后该误差对后面的影响是衰减还是扩张的(4)通过理论分析与计算实验，针对算法(E.4)和(E.5 )的稳定性，给出你的结论。选主元，找1 e紅,k + h,使得k2)4)-max |ak i n ika%”如果a = 0，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行(3)。ik,k如果i丰k，则交换第k行与第i行对应元素位置，a o a , j = k,n +1。kkkjik j消元，对i = k,n，计算l = a /a ,对j
7、 = k +1,n +1，计算ik ik kka = a l a .ij ij ik kj步骤 2：回代过程：(1) 若a = 0,则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。nn(na 乙i ,n+lj=i+l(2) x = a /a ;对i = n 1,2,1，计算x =nn , n +1nniax / aij j 丿 iii实验二列主元高斯消去法2.1 实验目的 掌握列主元高斯消去法的基本思路和迭代步骤 培养编程与上机调试能力。2.2 算法描述2.2.1 高斯(列主元)消去法基本思路设有方程组Ax二b，设A是可逆矩阵。高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作 用于方程组的增广矩阵B =将其
8、中的A变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。列主元高斯消去法的基本思想是每次在系数矩阵A中依次按列在主对角线及以下的元素 中，挑选绝对值最大的元素作为主元，将它调至主对角线上，然后用它消去主对角线以下的元素 最后变为同解的上三角形方程组去求解。2.2.2 列主元高斯消去法计算步骤将方程组用增广矩阵B = A：b= C ) 表示。ij nx( n+1)步骤1：消元过程，对k = 1,2,n 1(1)2.3 实验内容解方程组0.04x + 0.04x + 0.12x = 3123 0.56x 1.56x + 0.32x = 11230.24x +1.24x 0.28x = 01232.4
9、 实验要求：用列主元高斯消去法和选用其它解方程组的直接方法进行求解比较,并分析其结果实验三解线性方程组的迭代法3.1 实验目的 掌握解线性方程组的雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法 培养编程与上机调试能力.3.2算法描述3.2.1 迭代法的基本思想根据方程组A无=b设计出一个迭代公式，然后将任意选取的一初始向量无（0）代入迭代公式, 求出x，再以X代入同一迭代公式，求出x（2）,如此反复进行，得到向量序列x（k）.当x（k） 收敛时，其极限即为原方程组的解.322雅可比（Jacobi ）迭代法解方程组设方程组AX二b的系数矩阵对角线元素a丰0（i二1,2,., n），M为最大迭代次数，e为容ii
10、许误差.雅可比（Jacobi）迭代法解方程组算法步骤如下： 取初始向量X = （x（o）,x（o）,.,x（o）t，令k = 0.12 n 对i = 1,2,., n，计算x（k+i）=一（ba x（k）.ia iij jiij =1j知 如果E |x（k+1） -x（k）| M，则不收敛，终止程序；否则k J k +1，转323高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法在雅可比（Jacobi）迭代法中，如果当新的分量求出后，马上用它来代替旧的分量，则可能 会更快地接近方程组的准确解基于这种设想构造的迭代公式称为高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭 代法.算法可相应地从雅可比（Jac
11、obi）迭代法改造得到.3.3 实验题目及参考结果：题目5 x + 2 x + x = 8123应用雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代算法解线性方程组 A = 5 2 1;2 8 -3;1 -3 -6;%输入系数矩阵b = 8; 21; 1;%输入常数项 x = A b%方程组求解3.5 思考： 判别迭代法收敛的充分必要条件及充分条件是什么？ 雅可比(Jacobi)迭代法和高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代法收敛性的各种判别条件是什么？实验四非线性方程求根4.1 实验目的： 掌握二分法、牛顿迭代法等常用的非线性方程迭代算法； 培养编程与上机调试能力. 4.2算法描述：4.2.1 二分法基本
12、思路 二分法求非线性方程实根的基本思想是：通过计算隔根区间的中点，逐步缩小这个有根的区 间，从而可得方程的近似根数列 x ，当这个区间长度减小到一定程度时，就取这个区间的中 k点作为根的近似值。4.2.2 二分法计算步骤计算f (x) = 0的二分法如下： 输入求根取间a,b和误差控制量8,定义函数f(x).如果f (a)f (b) 时，计算中点x二(a + b)/2以及f (x)的值;分情况处理|f(x)| :停止计算，x*二x,转f (a)f (x) 0 :修正区间a,x T a,bf (x)f (b) 0 :修正区间x,b T a,bx* 二 输出近似根 x *4.2.3 牛顿迭代法基本
13、思路牛顿迭代法的基本思想：将非线性方程f(x) = 0逐步线性化，以线性方程的解逐步逼近非 线性方程的解。4.2.4 牛顿迭代法给定初始值x0，8为根的容许误差，耳为f (x)|的容许误差，N为迭代次数的容许值.如果f(x ) = 0或迭代次数大于N，则算法失败，结束；否则执行0计算xi = xof (x )0 - f(x ) 0若|%1 -xj 或f (x) n，则输出X，程序结束；否则执行令X二X，转向014.3实验题目及参考结果题目求方程f (x) x3 + x2 3x 3 0在1.5附近的根.参考答案原方程的根为x 1.7320514.4 实验要求：(1) 设计出二分法和牛顿法的程序，并且选择不同的初值，观察所需的迭代次数和迭代结果;(2) 分析二分法和牛顿法在非线性方程求根中的优缺点和收敛速度二分
