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1、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy面的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为 (x y) 求曲线形构件的质量把曲线分成 n 小段 s1 s2sn( si 也表示弧长 )任取 ( ii)si 得第 i 小段质量的近似值 ( i i) sin整个物质曲线的质量近似为 M ( i, i) sii1令 max s1 s2sn 0 则整个物质曲线的质量为nM lim ( i, i) si 0i 1i i i这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义 设L为xOy面的一条光滑曲线弧函数f(x y)在L上有界 在L上任意插入一点列 M1 M2Mn i
2、把L分在n个小段.设第 i 个小段的长度为si又 ( ii)为第i个小段上任意取定的一点作乘积 f( i i) si (i 1n2n ) 并作和if(1i, i) si 如果当各小弧段的长度的最大值0 这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧I 对弧长的n曲线积分或第一类曲线积分 记作 f (x, y)ds 即 f(x,y)ds lim f ( i, i) si L L0i 1其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段设函数f(x y)定义在可求长度的曲线 L上 并且有界将L任意分成n个弧段 si S2sn并用si表示第i段的弧长n在每一弧段 Si上任取一点(i i)作和 f( i
3、, i) si1令 max s1 s2sn 如果当0 时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f(xy)在曲线弧I对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 f (x, y)ds 即nI f (x,y)ds limf( i, i ) siI0i 1其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分 Lf(X，y)ds是存在的以后我们总假定f(x y)在L上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分L(x，y)ds的值 其中(x y)为线密度n对弧长的曲线积分的推广f (x, y, z)ds lim f( i, i,
4、 i) s0i 1如果L(或)是分段光滑的则规定函数在 L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧Li及L2则规定L k f (x, y)dsLif(x,y)ds f(x,y)ds闭曲线积分如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作f(x,y)ds对弧长的曲线积分的性质性质1设C1、C2为常数则Lqf(x,y) qg(x,y)ds Lf(x,y)ds C2 Lg(x,y)ds性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧Li和L2则.f (x,y)ds L f (x, y)ds L f(x, y)dsLL1L2性质3设在L上f(x y
5、) g(x y)贝UL f (x,y)ds Lg(x, y)ds特别地有I L f(x, y)ds| Ll f (x,y)|ds二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件 L的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为L f (x,y)ds另一方面若曲线L的参数方程为x (t) y (t) ( t )则质量元素为f(x,y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt曲线的质量为f (t), (t)、2(t)2(t)dtLf(x,y)ds f (t),(t)h 2(t)2(t)dtx (t) y (t) ( t )其中 、(t)在上具有一阶连续导数且2(t)2(t)
6、 0则曲线积分Lf(x,y)ds存在且Lf(x,y)ds f (t), (t)、2(t)2(t)dt( )证明(略)应注意的问题 定积分的下限 一定要小于上限讨论(1)若曲线L的方程为y (x)(a x b)贝U l f(x,y)ds ?提示 L的参数方程为x x y (x)(a x b)Lf(x,y)ds :fx, (x),1 2(x)dx若曲线L的方程为x (y)(c y d)贝U L f(x,y)ds ?提示 L的参数方程为x (y) y y(c y d)Lf(x, y)ds C f (y)，yh2(y) idy(3)若曲的方程为x (t) y (t) z (t)( t )则 f (x,
7、 y,z)ds ?提示 f(x,y,z)ds f (t), (t), (t)、.2(t)2(t)2(t)dt例1计算L yds其中L是抛物线y x2上点0(0 o)与点B(1 1)之间的一段弧解曲线的方程为y x2 (0 x 1)因此yds ：x21 (x2) 2dx ；x,1 4x2dx 12(5 5 1)例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量1(设线密度为1)解取坐标系如图所示则IL y2ds曲线L的参数方程为x Rcos y Rsin ( )于是 ILy2dsR2sin2、( Rsin )2 (Rcos )2dR3 sin2 dR3( sin cos )例3计算曲线
8、积分(x2 y2 z2)ds其中 为螺旋线x acost、y asint、z kt上相应于t从0到达2的一段弧解 在曲线 上有 x2 y2 z2 (a cos t)2 (a sin t)2 (kt)2 a2 k 2t 2 并且 ds、( asint)2 (acost)2 k2dt、a2 k2dt2 于是(x2y2z2)ds0(a2k平)一a2k2dt3 、a2 k2 (3a2 4 2k2)3小结用曲线积分解决问题的步骤(1) 建立曲线积分(2) 写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确定参数的变化围(3 )将曲线积分化为定积分(4)计算定积分02对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变
9、力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面在变力F(x y) P(x y)i Q(x y)j的作用下从点 A沿光滑曲线弧L移 动到点B试求变力F(x y)所作的功用曲线L上的点A A0 A1 A2An 1 An B把L分成n个小弧段设Ak(xkyk)有向线段AkAk1的长度为sk它与x轴的夹角为k贝UAkAk 1 cos k,sin 讣 2 (k 0 1 2 n 1)显然 变力F(xy)沿有向小弧段 AkAk 1所作的功可以近似为F (xk, yk) AkAk 1 P(Xk,yJcos k Q(Xk, yjsin k sk于是变力F(xy)所作的功n 1n 1WF (xk,yk) AkAk 1P(X
10、k,yk)cos k Q(Xk,yk)sin 订 Skk 1k 1从而W LP(x, y)cos Q(x, y)sin ds这里 (x y) cos sin 是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量把L分成n个小弧段L1L2Ln变力在 Li 上所作的功近似为F( i i) si P( i i) xi Q( i i) yi变力在 L 上所作的功近似为nP( i, i) xi Q( i, i ) yi i1变力在 L 上所作的功的精确值nW lim P( i, i ) xi Q( i, i) yi 0i 1 i i i i i i其中 是各小弧段长度的最大值 提示用 si xi yi
11、表示从 Li 的起点到其终点的的向量 用 si 表示 si 的模 对坐标的曲线积分的定义定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个有向小弧段Li L2Ln小弧段Li的起点为(xi 1 yi 1)终点为(xi yi) Xi Xi Xi 1 yi yi yi 1 ( i )为Li上任意一点 为各小弧段长度的最大值n如果极限 lim f ( i, i )0 i 1xi 总存在 则称此极限为函数f(x y)在有向曲线L上对坐标nL f(x,y)dx lim0i 1 f( i, i)x 的曲线积分 记作 L f (x, y)dx 即n如果极限 lim f( i, i)0 i 1 i i
12、xiyi 总存在 则称此极限为函数f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作L f(x, y)dy即L f(x,y)dylim0f( i, i )yi设L为xOy面上一条光滑有向曲线cos sin是与曲线方向一致的单位切向量函数P(x y)、Q(x y)在L上有定义如果下列二式右端的积分存在我们就定义LP(x,y)dx L P(x,y)cos dsLQ(x,y)dy LQ(x,y)sin ds前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分后者称为函数 Q(x y)在有向曲线L 上对坐标 y 的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 定义的推广设 为空间一条光滑有向曲线 c
13、os cos cos 是曲线在点 (x y z) 处的与曲线方向一 致的单位切向量函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在 )P(x, y, z)dxP(x, y, z) cos dsQ(x, y, z)dyQ(x, y, z) cos dsR(x, y, z)dzR(x, y, z) cos dsnL f ( x, y,z)dx lim0f( i, i, i) xiL 0i 1nL f ( x, y,z)dy lim0f ( i, i, i) yi0 i 1nL f ( x, y,z)dz lim0f ( i, i, i) ziL 0
14、 i 1对坐标的曲线积分的简写形式L P(x, y)dx L Q(x, y)dy L P(x,y)dx Q(x, y)dyP( x, y, z)dxQ(x, y, z)dyR(x,y,z)dzP(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz对坐标的曲线积分的性质(1) 如果把 L 分成 L1 和 L2 则Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx QdyLL1L2(2) 设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 则L P(x, y)dx Q(x,y)d L P(x, y)dx Q(x,y)dy 两类曲线积分之间的关系设 cos i sin i 为与 si 同向的单位向量我们注意到 xi yisi 所以xi cos i si yi sin i sinL f(x,y)dx lim f( i, i) xiL0lim f ( i, i)cos i si L f(x,y)cos ds0 i 1LnL f ( x, y)dy lim0f( i, i) yiL 0 i 1nlimf( i, i)sin i si f (x, y)sin ds0i 1 i ii i L即LPdx Qdy LPcos Qsin
