《最新人教版高中选修451.5不等式证明的基本方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新人教版高中选修451.5不等式证明的基本方法（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料精品资料精品资料精品资料学校：临清二中 学科：数学 1.5.1 1.5.2 不等式的证明方法（一）教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即比较法、综合法、分析法.教学重点、难点：分析法教学过程：一、情景引入：不等式历来是高考的重点内容。对于本节来讲，复习有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。要在思想方法上下功夫。.要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几
2、个因式的积的形式，以便判断其正负。综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。二、精讲精练：例1、 设a0，b0，求证：。分析
3、：当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的三步骤即为函数单调性证明的步骤。解：左-右= 0 左右 即原不等式成立.点评：做差；变形整理；判断差式的正负，该法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明.本题中应注意做差后分组的原则，是以提取公因式从而判定差式的结果是大于零还是小于零为目的.变式训练1：课本P24练习第7题.例2：已知求证： 比较两个真数联想到可用基本不等式来证明.点评：本题采用采用的是把几个不等式相加（或相乘）的方法，这是综合法证明不等式时常用的变形方法. 变式训练2：课本P27练习第2题.例3：已知求证：分析：本题是一个连锁不等式，也应该用逐步分析的方法分别证明，但要注意隐
4、含条件点评：本题出题角度比较新颖，能力要求较高，三角形的边角问题一般用正弦、余弦定理进行转化变形，然而本题并没有三角函数，所以想到，再利用求差比较法证明。变式训练3：课本P27练习第6题.三、课堂小结1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.2. 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用四、布置作业课本P31习题1-5第2，3，7题.课外参考：已知a0，b0，且a+b=1。求证：(a+)(b+).证法一：(分析综合法)欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证4(ab)233(ab)+80，即证ab或ab8.a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1
5、=a+b2，ab，从而得证.证法二：(均值代换法)供参考设a=+t1，b=+t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.证法三：(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab证法四：(综合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab.证法五：(三角代换法）供参考 a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，)2 学校：临清二中 学科：数学 编写人：马英济 学案 1.5.1 1.5.2 不等式的的证明(1)预习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法-比较法、综合法与分析法; 2. 会利用比较法、综合法和分析
6、法证明不等式预习内容： 1实数大小必较法则： 2. 基本不等式： 如果 , 那么. 当且仅当时, 等号成立. 如果 , 那么. 当且仅当时, 等号成立.3.均值不等式：如果,那么 的大小关系是： 常用推论：. ; ; . . 4. 不等式证明的基本方法：比较法、综合法与分析法探究学习：1.比较法：例1：已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是： 作差（或作商）、变形、判断符号。2.综合法：从已知条件、不等式的性质、基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又
7、叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：3分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系：课后练习 1.已知 求证：（1） （2）2.3.设，分别用分析法与综合法求证: 4.已知a，b，m都是正数，并且分别用分析法与综合法求证: 答案：例1.证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 故原不等式得证。课后练习：1略. 3. 证法一 分
8、析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证。证法二 综合法 注意到，即，由上式即得， 从而成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？4. 证法一 ： 因为a，b，m都是正数要证只需证 只需证 只需证 （显然成立） 故成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 ：因为 是正数，所以 两边同时加上得 两边同时除以正数得学校：临清二中 学科：数学 1.5.3不等式的证明方法（二）教学目标：了解证明不等式的最基本的基本方法即反证法与放缩法.教学重点、难点：放缩法.教学过程：一、情景引入前面所讲的几种方法，属
9、于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及
10、到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、精讲精练例1：设二次函数，求证：中至少有一个不小于.分析：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
11、证明：假设都小于，则 （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） （1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。点评：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。变式训练1：设，求证证明：假设，则有，从而 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例2：若是自然数，求证分析：利用作为突破口进行证明.证明： = =点评：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。变式训练2：求证：证明：由（是大于2的自然数） 得 三、课堂小结1.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。2.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。四、布置作业1. 1、设为大于1的自然数，求证2. 当 n 2 时，求证：证明：n 2 n 2时, 最新精品资料
