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1、设a与QM确定的平面为p交平面a于直线c.证明：AF=n, EF= 0,则公垂线段 AA的长 d= 丫 02 - m 2 - n2 + 2 mn cos 0 . 2 2 2 2EF = (EA + A A + AF )2 = EA + A A + AF + 2EA - AF ，1 1 1 1 1即：0 2 = m 2 + n 2 + d 2 土 2 mn cos 0 ，1与两异面直线的距离有关的一个公式对于异面直线我们由如下几个重要的命题： 命题1:任意两条异面直线有且只有一条公垂线. 证明：如图：设a、b是两条异面直线，在b上任取一点P,过P引a a，设b与a 确定平面a，则a a 在a上取
2、一点Q,过Q作QM丄a于M.c与b交于点B.在p内作BAMQ，贝lAB丄a , AB丄b, AB丄a .又 a a, .AB丄a，即AB是a、b的公垂线段.假设还有直线A也是a、b的公垂线，则A，丄b, A，丄a，. A，丄a A B，丄a于是A B AB, a B 与AB共面，即a、b共面.这与a、b是两条异面直 线相矛盾.因此 任意两条异面直线有且只有一条公垂线.命题 2、两条异面直线的公垂线段的长，是分别连结两条异面直线上任意两点的所有线段中最短的一条（因此，该长度是两异面直线的距离）.证明：在上图中，设A B 是a、b上异于公垂线段AB的任一连线段，过A作AB a D 交直线c于D,由
3、上述证明知A D是平面a的垂线段，所以A DW A B . . 命题成立.命题3、已知两条异面直线所成的角为0，在异面直线a、b上分别取E、F,若A1E=m,d= 0 2 一 m 2 一 n 2 + 2 mn cos 0说明：1、对于此公式中的符号的处理通常是如上图，当F在点A的另一侧时取“一” 同一侧时取“+”.2、此公式中共有5个量，通过它的不同变换形式可用来求诸如：两异面直线间的 距离；异面直线上两点的连线段长；二面角等.例1、在棱长为a的正方体ABCDABCD中，M是A%的中点，点O是对角线BD的在点. 求证：OM是异面直线AA和BD】的公垂线，证明：设 AA = a, AB = b,
4、 AD = c ,a *c = 0 ,cos=13BD = AD11AB = a + c 一 bOM = OD + DA + AM1 1 1 1又丁 OM - AA1而 OM 与 AABD都相交.0 ,.0M丄AA .类似地可证：0M丄BD .OM是异面直线AA和BD】的公垂线.在公式2 一 m 2 一 n 2 + 2 mn cos 0 中， =AD=a,m=MA=丝,n=DO=a =3 . d=:cos 0 = cos =d= Y 2 一 m 2 一 n 2 + 2 mn cos 013即：异面直线AA和BD】的距离为匸a2 注:此问题即为上一节的思考题5 向量解法.在直角坐标系中，设 A（3， 2）， B（-2， -3），沿 y 轴把坐标平面折成 120的二面例 2 、解：0 中， =AB=2,例3、如图，在锐二面角a P内，Aua , Bep , AC丄于C, BD丄于D, 且 AC=3,BD=4,CD=1,AB=2 ；3，求二面角a P 的大小.在2 =m 2 + n 2 + d 2 - 2 mn cosm=BD=4, n=AC=3,d=CD=1.0 即为所求之二面角.m 2 + n 2 + d 2 一 2 cos 0 =2 mn想一想:, 故二面角a 12BC如图在正方体AC】中，求二面角A AC B的大小.
