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1、简化立体几何运算的几种方法吕晓立体几何教学的任务之一就是培养学生的运算能力，要培养运算能力，就要掌握 简化立体几何运算的方法，那么怎样简化立体几何运算呢？一、一般问题特殊化有些选择题或填空题，若根据题意直接解答运算很繁，把一般问题特殊化，可简 化运算过程。例1.正四棱锥相邻两侧面形成的二面角为岸，则岸的范围是（）A.（乳3,丸备轧.菅巧解：如图1，正四棱锥S-ABCD，过A作AEXSB于E”连CE。图1由三角形全等容易证得ZAEC是二面角的平面角。考虑特殊位置V，当S无限接 近O点时，岸接近n ；当、距平面ABCD无限远时，a接近云，a的范围是心。 故选D。二、整体估算有些立体几何选择题，若直
2、接解答十分繁杂，若采用整体估算则十分简单。例2. （1999年高考题）如图2，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3EF = -的正方形，EFAB，2，EF与面ABCD的距离为2，则多面体EF-ABCD的体积是（）图2915A. 2 b. 5 C. 6 D. 2解：连结EB、EC得四棱锥E-ABCD，它的高h = 2,、明=9,四棱锥E-ABCD的 匕 = -XgdX = 1x9X2 = 6体积-皿3座遂 3。因为4-虫此&F-座CD，即EF-ACD 6。故应选D。三、用公式求二面角一个平面上的图形面积为S ,它的另一个面上的射影的图形面积为S ,这两个原%射cos a =面的夹角为
3、a,则有拦射=原,眼邑，即 编。利用这公式求二面角的 大小，不需要找二面角的棱确定二面角的平面角，显然可以简化运算。例3.正方体ABdHiCiR中，e是BC的中点，求平面逐齿与平面ABCD 所成二面角的大小。解：如图3,连结DB、DE,因为职、&月都垂直于平面ABCD,则ADBE 是ADBE在平面ABCD上的射影。1 1A图3设正方体的棱长为1，易知逐 =燃BA专,娘=%所以%桀=5=?设所求二面角为a，则18也海 cos a.=，故a =心自即平面乎宓arccos-与平面ABCD所成的二面角为3 四、运用三棱锥的体积求点面距离确定垂足位置和表示距离的线段求点面距离的一般思路是过点向平面作垂线
4、长，这样作解答难，运算繁。如果构造三棱锥，把所求距离转化为三棱锥的高， 通过三棱锥的体积求点面距离，可简化运算。例4. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形 ABCD所在的平面，且GC = 2，求点B到平面EFC的距离。解：如图4，取EF的中点0，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B EFG。图4设点B到平面EFG的距离为h， BD=，EFd确 C0= = 3很GO= JCO2 + GC2 =+22 = 718 + 4 =庖而GC平面ABCD，且GC = 2。由得产.卜2 jh _淡皿凶_ 2X2X2 _ 2面GC,所以解得=ms =2区=。2而故点B到
5、平面EFG的距离是11。评注：构造以点B为顶点，AEFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个 三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。五、变换图形的位置根据待解题目给出图形求解，有时运算很繁。若变换图形的位置，便于求解，可 简化运算。例5.已知三棱锥VABC的三个侧面VAB、VBC、VAC互相垂直，且其面积依次 为6、4、3。求此三棱锥的体积。图5解析：根据已知条件用左图求三棱锥VABC的体积，解答难，运算繁。若改变 为右图，求三棱锥AVBC的体积，可简化运算。因为平面VAB、VBC、VAC两两互相垂直所以VA、VB、VC互相垂直，从而VAX平 面 VBC。设 VA=x
6、，VB = y，VC = z，则 xy= 12，yz = 8，zx = 6。三式相乘，得盂，牙=， 因 x0, 70, z0，所以平）0,即=24。!双 x = ： xyz = i X 24 = 4 六、运用分割法求某种几何体的体积，直接求解运算很繁。若注意用分割法，则可简化运算。例6.如图6，三棱锥PABC中，已知PABC, PA = BC = l, PA、BC的公垂线段 ED = h,求三棱锥PABC的体积。图6解：连 BE、EC。因为 PABC，PAED 且 BC【ED = D，所以 PA平面 BEC。，所以丹-哄，-lh PE PE= &= -lh AE + -lh PE 66= hh
7、AE + PE)= -lh* AP=-lh* l = -666 七、运用等积代换有些求体积问题，根据公式直接求解，运算很繁，又需要许多证明，若通过等积 代换，可简化运算。例7.斜三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面与它的对棱的距离为a，求这个 棱柱的体积。解：如图7,设斜三棱柱ABC- ABC中，侧面BB”C”C面积为、，与它的对 棱A” A间的距离为a。图7连C” A、C” B,则有三瞄=。调查顶点和底面，有三棱锥ABC” C，于是。因为 A” AB” B, B” BU平面 BB” C” C,所以 A” A平面 BB” C” C。由此可知，A” A到侧面BB” C” C的距离a等于三棱锥A B
8、C” C的高。因为所以所以八、倍角a为自变量使问题三角化 涉及立体几何的最值问题，若设线段的长度为自变量常出现根式运算；如果设角 为自变量，可避免根式运算，简化解题过程。例8.如图8,利用仓库两墙互相垂直的墙角，把一块长方形木板的两条边紧靠 在两堵墙上，使地面、木板和两堵墙围成一个直三棱柱，若已知木板长为a，宽 为b (5)，问如何围法可使三棱柱容积最大？解：设/ABC=a图80b所以J -一：探=沁容积的大小不仅与角。有关，还与木板是a边还是b边着地有关，因此还有V= b sm a * b cos a * aab当且仅当泗 = 1，即a =45。时，体积V”取得最大值4由此可知，当长方形木板较长边着地，并且使围成的直三棱柱的底面为等腰直角 三角形时，所围成的直三棱柱容积最大。甘肃省平凉市崆峒区柳湖乡泾滩小学（744000）
