排列组合20种解法策略

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1、 圆梦教育中心 高考难点排列组合 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样，思路灵活,因此解决排列组合问题，一方面要认真审题,弄清晰是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；另一方面要抓住问题的本质特性，采用合理恰当的措施来解决。复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完毕一件事，有类措施,在第类措施中有种不同的措施，在第2类措施中有种不同的措施，,在第类措施中有种不同的措施，那么完毕这件事共有：种不同的措施.2.分步计数原理（乘法原理)完毕一件事,需要提成个环节，做第1步有种不同的措施,做第2步有种不同的措施，做第步有种不同的措施,那么完毕这件事共有：种不同的措施3.分类计数原理分步计数原理区

2、别 分类计数原理措施互相独立，任何一种措施都可以独立地完毕这件事。分步计数原理各步互相依存，每步中的措施完毕事件的一种阶段，不能完毕整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.如何做才干完毕所要做的事,即采用分步还是分类,或是分步与分类同步进行,拟定分多少步及多少类。.拟定每一步或每一类是排列问题（有序)还是组合（无序)问题，元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉,因此必须掌握某些常用的解题方略一.特殊元素和特殊位置优先方略例.由0,1,2，3,4,5可以构成多少个没有反复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊规定,应当优先安

3、排,以免不合规定的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其他位置共有 由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的措施,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再解决其他元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的规定,再解决其他位置。若有多种约束条件，往往是考虑一种约束条件的同步还要兼顾其他条件练习题:种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法?二.相邻元素捆绑方略例. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一种复合元素，同步丙丁也当作一

4、种复合元素，再与其他元素进行排列，同步对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法规定某几种元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一种元素,再与其他元素一起作排列,同步要注意合并元素内部也必须排列.练习题：某人射击8枪,命中枪,4枪命中正好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空方略例.一种晚会的节目有4个舞蹈，个相声，个独唱,舞蹈节目不能持续出场,则节目的出场顺序有多少种？解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间涉及首尾两个空位共有种不同的措施,由分步计数原理，节目的不同顺序共

5、有 种元素相离问题可先把没有位置规定的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增长了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四定序问题倍缩空位插入方略例4.7人排队,其中甲乙丙人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几种元素顺序一定的排列问题,可先把这几种元素与其她元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几种元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: （空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种措施，其他的三个位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种措施。 思考:可以先让甲乙丙

6、就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人，共有1种排法,再把其他4四人依次插入共有 措施定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型解决练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排人,规定从左至右身高逐渐增长,共有多少排法？ 五.重排问题求幂方略例.把6名实习生分派到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完毕此事共分六步:把第一名实习生分派到车间有 7 种分法.把第二名实习生分派到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有种不同的排法容许反复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐个安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种练习题：1 某班新

7、年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增长了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 22. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，她们到各自的一层下电梯,下电梯的措施六环排问题线排方略例. 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，因此固定一人并从此位置把圆形展成直线其他人共有（8-1）!种排法即！ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有练习题:6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 20七.多排问题直排方略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后

8、排,共有多少排法解:人排前后两排，相称于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其他的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种一般地,元素提成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 练习题：有两排座位,前排个座位,后排12个座位，现安排人就座规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 八排列组合混合问题先选后排方略例8.有个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一种球，共有多少不同的装法解:第一步从5个球中选出2个构成复合元共有种措施再把4个元素（涉及一种复合元素)装入个不同的盒内有种措施，根据分步计

9、数原理装球的措施共有解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指引思想.此法与相邻元素捆绑方略相似吗?练习题：一种班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选人完毕四种不同的任务,每人完毕一种任务，且正副班长有且只有1人参与，则不同的选法有12 种九小集团问题先整体后局部方略例9.用,，3,4,5构成没有反复数字的五位数其中恰有两个偶数夹,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个?解：把1,5,2,当作一种小集团与排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法,由分步计数原理共有种排法.小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其他方略进行解决。练习题:1筹划展出0幅不同的画,其中幅水彩画，幅油画,幅国画, 排成

10、一行陈列,规定同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为2. 5男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相似问题隔板方略例1.有10个运动员名额,分给7个班，每班至少一种,有多少种分派方案? 解:由于10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在个空档中选个位置插个隔板,可把名额提成份，相应地分给个班级，每一种插板措施相应一种分法共有种分法。将n个相似的元素提成m份（n，m为正整数）,每份至少一种元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为练习题:1 0个相似的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法

11、？ 求这个方程组的自然数解的组数 十一.正难则反总体裁减方略例11.从0,1,3,4,5,6，7，,9这十个数字中取出三个数，使其和为不不不小于10的偶数,不同的 取法有多少种?解：这问题中如果直接求不不不小于10的偶数很困难,可用总体裁减法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数具有3个偶数的取法有,只具有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再裁减和不不小于1的偶数共9种，符合条件的取法共有有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的背面往往比较简捷,可以先求出它的背面,再从整体中裁减.练习题:我们班里有3位同窗,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十

12、二平均分组问题除法方略例1 6本不同的书平均提成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解：分三步取书得种措施,但这里浮现反复计数的现象，不妨记6本书为BDEF，若第一步取AB,第二步取CD，第三步取EF该分法记为(AB,D，EF),则中尚有(A,F,CD）,（CD,A,EF),（D,F,)（EF,CD,B）,（E,B,D)共有种取法 ，而这些分法仅是(AB,CD，EF)一种分法,故共有种分法。平均提成的组,不管它们的顺序如何,都是一种状况,因此分组后要一定要除以(为均分的组数)避免反复计数。练习题:1 将13个球队提成3组,一组个队,其他两组个队, 有多少分法？()2.名学生提成3组,其中一组4人,

13、另两组人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组措施 (154)3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排名，则不同的安排方案种数为_（)十三 合理分类与分步方略例13在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,人会跳舞，现要表演一种2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派措施解:10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为原则进行研究 只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种，只会唱的5人中只有人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有人选上唱歌人员有种,由分类计数原理共有 种。解具有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类

14、，按事件发生的持续过程分步，做到原则明确。分步层次清晰，不重不漏，分类原则一旦拟定要贯穿于解题过程的始终。练习题：.从名男生和3名女生中选出4人参与某个座 谈会,若这人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2.成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 号船最多乘2人,3号船只能乘1人，她们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船措施. （27) 本题尚有如下分类原则：*以3个全能演员与否选上唱歌人员为原则以个全能演员与否选上跳舞人员为原则*以只会跳舞的2人与否选上跳舞人员为原则都可经得到对的成果十四.构造模型方略例4 马路上有编号为1,2,3,4,5,，7,8，9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯措施有多少种?解:把此问题当作一种排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种某些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题:某排共有1个座位,若4人就坐，每人左右两边均有空位，那么不同的坐法有多少种?(120)十五.实际操作穷举方略例15设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号