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1、初探动态几何综合题解法坐标系下平行四边形的存在性问题石柱初中 章玲一、设计意图平面直角坐标系中图形位置的确定， 是综合性较强、 难度较大的一类问题， 也是中考中的热点问题。 本节课是从综合题中抽取出几何模型， 把综合题分解为若干小综合题， 通过一题多变， 由易到难的引申， 实现对常规方法的归纳和总结。 本节课还注意对数学思想方法的复习，始终强调数形结合的基本思想，强化分类讨论的意识和方法。二 、教学目标设计1. 知识与技能：（1）通过将 ABC补成平行四边形复习平行四边形的判定，进一步理解图形变换；（2）再把几何图形放在了平面直角坐标系中，对图形顶点的坐标求法进行归纳和总结，复习相关知识的目的
2、的同时，也为后续例题的解决作好铺垫；（3）通过对复杂条件的一步步加深，及时总结，掌握从众多的条件中确定类型，提高学生的解题能力；2. 过程与方法：（1）综合题中的几何模型【引例】 ，铺垫到位，总结作图定位的依据和方法；（2） 将 专题细化，一题多变，充分引申，最大限度的发挥例题的作用。掌握数学解题策略，争取提升小综合题的解决能力；（3） 通 过几何画板的使用，直观的展示思维轨迹，提高课堂效率。3. 情感态度与价值观：(1) 通过一题多变活跃思维，学会倾听他人的解题思路，理解他人的解法；(2) 通过题后小结，提高复习效果，同时提高解题能力 .三、教学过程：【考题再现】 （2013 年 昆明压轴题
3、）如图，矩形 OABC在平面直角坐标系 xOy 中，点 A在 x 轴的正半轴上，点 C在 y 轴的正半轴上， OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC交抛物线于点 D（1）求抛物线的解析式；1（2）求点 D的坐标；（3）若点 M在抛物线上，点 N在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N的坐标；若不存在，请说明理由此题考查了二次函数综合题， 涉及的知识有： 待定系数法确定抛物线解析式， 一次函数与二次函数的交点， 平行四边形的性质， 以及坐标与图形性质， 是一道多知识点的探究型试题【引例】如图 1，请将
4、ABC补成平行四边形。A BC图 1方法 1 过顶点画对边平行线，三条平行线的交点就是第四个顶点。方法 2 以 AB为平行四边形的一边或是对角线进行分类，从而得到第四个顶点。图 2引申 ：将平行四边形放在平面直角坐标系下，如何求点的坐标？2【探究 1】三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性例 1 如图，在平面直角坐标系中 A（-1,0 ）、B（3,0 ）、C(0，-3) ，请在平面内找一个点 D，使得以点 A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，先画出点 D的位置，再写出点 D的坐标；y yD 3A -1 B 3A -1 O x O x B 3C -3D2 D 1C -3已知三点，求第四
5、点方法 归纳： 构造全等及平移 中点的算法：若 M(x1, y1),N( x2, y2), 则其中点坐标为（x1 x y y2 1 2,2 2), 即有同一条对角线上的两个顶点的横坐标之和相等， xA xC xB xD ;同一条对角线上的两个顶点的纵坐标之和相等，yA y y y .C B D【推广与应用】1、已知 A、B、C 三点的坐标分别为(3,7),(1,2), （6，4），求点 D 的坐标使四边形ABCD 成为平行四边形 ;变式 1：求点 D 的坐标 ,使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形 ;变式 2：将ABC 绕 AC 的中点 P 旋转180 ，点 B 落到点 B的位置，
6、求点 B的坐标 .点评： 本题已知三个定点坐标的具体数值，可以根据坐标平移或中点算法直接写出第四个顶点的坐标值得注意的是，若没有约定由三点构成的三条线段中哪条为边或对角线，3则三种情况都必须考虑【探究 2】二个定点，二个动点，探究平行四边形的存在性例 2 如图，在平面直角坐标系中 A（-1,0）、B（3,0），以及一个不定点 C,记为 C(a，b)，请在平面内找一个点 D，使得以点 A 、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形，画出点 D 的位置并求出坐标； (用含 a,b 的式子表示） yyC(a,b) C(a,b) D1（a+4,b)D2（a-4, b)P（1,0） A -1 O x A
7、-1 Ox B 3 B 3D 3(2- a,-b)点评 ：本题已知三个定点坐标，虽不是具体数值（含字母 a，b），但依然可以根据坐标平行四边形的性质直接写出第四个顶点的坐标 看上去此法冗长， 三种情况必须逐一探究，但思路简单，解题严谨，不易遗漏例 3 抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于 A 、B，抛物线的顶点为 C，点 D 在抛物线的对称轴上，点 E 在抛物线上，且以 B、A 、D、E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点E 的坐标yxA O BC分析过程：2 x由 2 3y x 得到 A(-1,0) ，B(3,0)，点 C(1，-4) ,设点 D(1，a)4yE2(-2, a) E1
8、(5,a) D (1,a)xA(-1,0) OB(3,0)E3(1,- a)C2 x(1) 平行四边形以 AB 为边时，得 E（1 5，a），E（2 -3，a），将 E（1 5，a）代入 2 3y x ，得 a 52 2 5 3 12 ， E1(5 ， 12) ； 将 E2(-3 ， a) 代 入 y x2 2x 3 ， 得2a 3 2 3 3 12 ，E2(-3，12).2 x(2) 平 行四边形 以 AB 为对角线， 得 E3(1 ，-a)，将其代入 y x 2 3 ，得2a 1 2 3， a=4， E3(1，-4)yE2 E1A(-1,0) O B(3,0)E3 (C)点评： 先假设一个
9、动点的坐标， 将其看成一个定点， 按照平行四边形横纵坐标之和分别相等的性质，写出第四个顶点的坐标再由另一动点应满足的条件，求出相应的坐标5【巩固练习】 抛物线2 2 3y x x 与 y 轴y交于点 A，点 B在直线 y x上， O为坐标原点，点 P是抛物线上一动点，若以 B、A、O、P四点为顶点的四边形为平行四边形，求出点 B的坐标；O 1xA【 总结与提升 】方法总结：定动点，解方程巧设其中一个动点表示出另一个动点代入相关的解析式解方程写出点的坐标，并验证【 自我检测 】如图，矩形 OABC在平面直角坐标系 xOy 中，点 A在 x 轴的正半轴上，点 C在 y 轴的正半轴上， OA=4，O
10、C=3，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O，A 两点，直线 AC交抛物线于点 D（1）求抛物线的解析式；（2）求点 D的坐标；（3）若点 M在抛物线上， 点 N在 x 轴上，是否存在以 A，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 求出点 N的坐标； 若不存在，请说明理由6解：（1）设抛物线顶点为 E，根据题意 OA=4 ，OC=3，得 E（2，3），2设抛物线解析式为 y a x 2 3，将 A（4，0）坐标代入得： 0=4a+3，即 3a ， 43 2则抛物线解析式为 y x 2 3；4（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b （k 0），4k b 0 b 3，解得kb
11、343将 A（4，0）与 C（0，3）代入得,3故直线 AC 解析式为 y x 3，4与抛物线解析式联立得yy3 2x 243x 343，解得xy194或xy40，则点 D 坐标为91, ； 4（3 ）已 知 A(4 ，0), D91, , 设 N（ m,0 ）,则4 9M 1 m 3, , 4 9M 2 5 m, ， 49 3 2M 3 m ，分别代入 2 33, y x ，4 4将9 3 2M 1 m 代入 y x 3x3,4 49 3 2，得 m 3 3 m 3 ，解得4 4m1 4 舍去 ，m2 6, N1 6,0 ;将 9 3 2 9 3 2M 2 5 m, 代入 y x 3x，得
12、5 m 3 5 m 4 4 4 4，解得m1 4 舍去 ，m2 2, N2 2,0 ;将9 3 2M 3 m 代入 y x 3x3,4 49 3 2，得- m 3 3 m 3 ，解得4 4m1 1 7，m 7, N 1 7,0 ,N12 341 7,0 ;综上所述， 满足条件的点 N 有 4 个： 6,0 N3 N .N ，N2 2,0 ， 1 7,0 , 1 7,01 47y B(4,3)C(0,3)Dx AN3 O N4 N2 N1点评 ：本题中 M 、N 点都是动点，学生难以探索，而先变其中一动点为定点，在确定第四点，在找第四点所必须满足的条件，建立方程，这种方法不必分析复杂的图形，降低
13、了分析的难度，也不会出现遗漏的现象，学生比较容易掌握四、教学反思存在性问题是近年来各地中考的热点， 其图形复杂， 不确定因素较多， 对学生的知识运用分析能力要求较高， 有一定的难度 用动态的观点看待几何图形， 把平行四边形存在性问题，用数的运算来描述图形的变化， 其本质是用几何变换去认识几何图形， 用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想探索平行四边形存在性问题的思路： 先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标） 再画出以三点为顶点的平行四边形， 根据坐标平移或平行四边形的性质写出第四个顶点的坐标最后根据题目的要求（动点在什么曲线上） ，判断平行四边形的存在性解题特点： 不会遗漏回避了对复杂图形的相互关系的分析； 不需证明平移坐标法直接写出第四个点的坐标， 跨越了复杂的推理过程， 回避了繁琐的证明； 不限条件 平移坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变8
