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1、二次函数综合题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A (1，0)、B (3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为的形式；（2）若点H (1，y)在BC上，连接FH，求FHB的面积；（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当t为何值时，（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得被BA平分若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1） 抛物线 与x轴交于A (1，0)、B (
2、3，0)两点 解得： 该抛物线解析式为：（2）设直线BE的解析式为 B (3，0)、E ， 解得：， 直线BE的解析式为.因为F是抛物线与BE的交点 整理得：解得：、（舍去） F（）连接AH，与BE交于点G，设直线BC的解析式为 B (3，0)、C 直线BC的解析式为 H (1，y)在BC上 H (1，) A (1，0) AH 2. 已知抛物线经过A，B两点， 与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接AC，CD，BD，BC，设AOC，BOC，BCD的面积分别为S1，S2和S3，用等式表示S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由；（3）点M是线段A
3、B上一动点（不包括点A和点B），过点M作MNBC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由解：（1）如右图， 抛物线经过A，B两点 该抛物线的解析式是 ， 点D坐标 （2） S1，S2，S3之间的数量关系是过点D作DEx轴于点E，作DFy轴于点F， E，F B , C , , 则在中 , , 则在中 BCD是直角三角形 , （3） 存在点M，使得，设点M ， 则 在中， MNBC 若， AMNACM ，（舍） 点M坐标 设直线BC的解析式为 B , C 直线BC的解析式为 MNBC *设直线MN的解析式为 点M坐标 直线MN的解析
4、式为 存在点M，使得，此时 直线MN的解析式为3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点（1）请直接写出抛物线的解析式（2）连接BC，将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求点D的坐标（3）在（2）中的线段AD上有一动点E（不与点A、点D重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，AFD的面积最大求出此时点E的坐标和AFD的最大面积解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x4）.C（0，2）在抛物线上，2=a1（4），a=.抛物线的解析式为y=（x+1）（
5、x4）=x2x2，（2）设直线BC的解析式为y=kx2，B（4，0）4k2=0，k=，直线BC的解析式为y=x2.直线BC平移，使其经过点A（1，0），且与抛物线交于点D，直线AD的解析式为y=x+，联立，解得（舍去），或，D（5，3）.（3）A（1，0），D（5，3），以AD为底，点F到AD的距离越大，ADF的面积越大，作lAD，当l与抛物线只有一个交点时，点F到AD的距离最大，设l的解析式为y=x+n，联立转化为关于x的方程为x24x2n4=0，=164（2n4）=0，n=4.直线l的解析式为y=x4，x24x+4=0，解得x=2.将x=2代入y=x4得，y=3，F（1，3），E（1，1）
6、.EF=4.SAFD的最大面积=EF|xExA|+EF|xDxE|=42+44=124.如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D（1）直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作PFDE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形设BCF的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值解：（1）对于抛物线y=x2+2x+3，令x=0，得到y=3；令y=0
7、，得到x2+2x+3=0，即（x3）（x+1）=0，解得：x=1或x=3，则A（1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线对称轴为直线x=1；（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，解得：k=1，b=3，直线BC的解析式为y=x+3，当x=1时，y=1+3=2，E（1，2），当x=m时，y=m+3，P（m，m+3），令y=x2+2x+3中x=1，得到y=4，D（1，4），当x=m时，y=m2+2m+3，F（m，m2+2m+3），线段DE=42=2，0m3，yFyP，线段PF=m2+2m+3（m+3）=m2+3m，连接DF，由PFDE，得到当PF=
8、DE时，四边形PEDF为平行四边形，由m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合题意，舍去），则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形；连接BF，设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，S=SBPF+SCPF=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB，S=3（m2+3m）=m2+m（0m3），则当m=时，S取得最大值5.如图所示，抛物线y=ax2x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作ACx轴，交直线y=2x2于点C，且直线y=2x2与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y=2x2的对称点A的坐标
9、，并判断点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入y=ax2x+c，得，解得，抛物线解析式为y=x2x当x=6时，y=262=10，当y=0时，2x2=0，解得x=1，点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）（2）过点A作AFx轴于点F，点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在RtACD中，CD=5，点A与点A关于直线y=2x2对称，AED=90，SADC=AE=510，解得AE=2，AA=2AE=4，DE=，AED=AFA
10、=90，DAE=AAF，ADEAAF，=，解得AF=4，AF=8，OF=86=2，点A坐标为（2，4），当x=2时，y=4（2）=4，A在抛物线上（3）点P在抛物线上，则点P（x，x2x），设直线AC的解析式为y=kx+b，直线A经过A（2，4），C（6，10）两点，解得，直线AC的解析式为y=x+，点Q在直线AC上，PQAC，点Q的坐标为（x，x+），PQAC，又点Q在点P上方，l=（x+）（x2x）=x2+x+，l与x的函数关系式为l=x2+x+，（2x6），l=x2+x+=（x）2+，当x=时，l的最大值为6.如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A（1，0），
11、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.若直线ymxn经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标解：（1）依题意，得解之，得抛物线解析式为 对称轴为x1，且抛物线经过A（1，0），B（3，0）把B（3，0）、C（0，3）分别直线ymxn，得 解之，得 直线BC的解析式为 （2）MA=MB，MA+MC=MB+MC.使MA+MC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点. 设直线BC与对称轴x1的交点为M，把x1代入直线，得y2. M（
12、1，2） （3）设P（1，t），结合B（3，0），C（0， 3），得BC218， PB2(13)2t24t2， PC2(1)2(t3)2t26t10.若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即 184t2t26t10. 解之,得t2. 若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即 18t26t104t2解之，得t4 若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即 4t2t26t1018解之，得t1，t2 综上所述，满足条件的点P共有四个,分别为 (1，2), (1，4), (1，) ,(1，) 7.在直角坐标系中，、，将经过旋转、平移变化后得到如图所示的.（1）求经过、三点的抛物线的解析式；（2）连结，点
13、是位于线段上方的抛物线上一动点，若直线将的面积分成两部分，求此时点的坐标；（3）现将、分别向下、向左以的速度同时平移，求出在此运动过程中与重叠部分面积的最大值.解：（1）、，将经过旋转、平移变化得到如图所示的，.设经过、三点的抛物线解析式为，则有，解得：. 抛物线解析式为.（2）如图所示，设直线与交于点. 直线将的面积分成两部分，或，过作于点，则. ,.当时，.设直线解析式为，则可求得其解析式为，（舍去）， .当时，同理可得.（3）设平移的距离为，与重叠部分的面积为.可由已知求出的解析式为，与轴交点坐标为.的解析式为，与轴交点坐标为. 如图所示，当时，与重叠部分为四边形.设与轴交于点，与轴交于点，与交于点，连结.由，得 ，. .的最大值为.如图所示，当时，与重叠部分为直角三角形. 设与轴交于点， 与交于点.则，.当时，的最大值为.综上所述，在此运动过程中与重叠部分面积的最大值为.8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A，B，C，对称轴与x轴交于点D（1）求抛物线的表达式；（2）点M是抛物线上的一动点，过点M作MN 知二次函数y=ax22ax+
