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1、二十种排列组合问题的解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列 组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综 合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理. 教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理.2. 掌握解决排列组合问题的常用策略；能运用解题策略解决简单的综合应用 题.提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1. 分类计数原理（加法原理）完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m,种不同的方法，在第2类办法 中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，
2、那么完成这件 事共有：N m, m2mn种不同的方法.2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm2mn种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成A4C4C3整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或 是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类.3.
3、确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序） 问题,元素总数是多少及取出多少个元素4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两 个位置.先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有C3排法；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有C；种排法；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选3个的排列数共有A3种排法;二由分步计数原理得c4c1a3 288练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里
4、，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有a2不同种法，再其它葵花有a5不同种法，所以共有不同种法A2A5 12 120 1440种不同的种法.二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.由分 步计数原理可得共有a5a2a2 480种不同的排法.练习题：某人射击8枪，命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 解：命中的三枪捆
5、绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有 A 20种不的情形.三. 不相邻问题插空策略例3. 一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场，则节 目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第 一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 a6不同的方法，由分步计 数原理,节目的不同顺序共有a5a4练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如 果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四. 定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺
6、序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元 素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数 则共有不同排法种数是：A3A（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 色种方法，其余的 三个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共有A；种方法.（七个空位坐了 四人，剩下3个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）思考:可以先让甲乙丙就坐吗？（插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 c；A4方法.（先选三个座位坐下甲，乙，丙共有 C；种选法，余下四个空位排 其它四人共有A4种排法，所以共有c3a4种方法.）练习题：1
7、0人身咼各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身咼逐渐增加，共有 多少排法？ Ci5o五. 重排问题求幕策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7_种分法.把第二名实习 生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有76种不同的排法练习题：1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下电梯的方 法78六. 多排问题直排策略例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前
8、排，丙在后排，共有多少排法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排先排前4 个位置，2个特殊元素有a4种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有a4 种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有a2a4a5种排法.葆 好后，按前4个为前排，后4人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定 前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法 的种数是346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第1 ,12位置是排甲乙中的一个时，与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除3个，所以共有排列
9、C1G： CG；108 238 346七. 排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同 的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素（包 含一个复合元素）装入4个不同的盒内有A：种方法，根据分步计数原理装 球的方法共有C52a4练习题：一个班有6名战士 ,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的 任务,每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法 有192种八. 小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1, 5在两个奇数之间，这样的五
10、位数有多少个？（注：两个偶数2,4在两个奇数1, 5之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故3只能排这个结构的外围， 也就是说要把这个结构看成一个整体与3进行排列）.解：把1 , 5 , 2 , 4当作一个小集团与3排队共有 A2种排法，再排小集团内 部共有a2a2种排法，由分步计数原理共有a；a；a2种排法.练习题：1 .计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈 列，要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方 式的种数为a2a5a42. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有a2a5a5种九. 元素相同问题隔板策略例10.有
11、10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案?解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空 隙.在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分 给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 C6种分法.注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的.即班级不同，但名额都是一样的.练习题：10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？C：2. x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数G3o3o|o ololo ololo olo十正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,234,5,6,7
12、,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C3,只含有1个偶数的取法有c5c|,和为偶数的取法共有c5c| c；.再淘汰和小于10的 偶数共9种，符合条件的取法共有C5C； C； 9练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有 一人在内的抽法有多少种？ 十一 平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解：分三步取书得C；C：C22种方法,但这里出现重复计数的现象，不妨记
13、6本书 为ABCDEJF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为 (AB,CD,EF),则 CQC；中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A种 取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有仑爭种分法.平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以 An (n为均分的 组数)避免重复计数。练习题：1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队，有多少分法?2.10名学生分成3组,其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组 有多少种不同的分组方法(1540)3.
14、 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 (血90)A2 十二.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一 个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员.选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有C；C；种，只会唱的5人中只有1 人选上唱歌人员c5c；C42种，只会唱的5人中应有 2人选上唱歌人员有c；c2 种，由分类计数原理共有c5c3c4 c；c；种.解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进
15、行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要 贯穿于解题过程的始终。本题还有如下分类标准：以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果 练习题：1. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男 生又有女生，则不同的选法共有 342. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘 1人，他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船 方法.（27）十三.构造模型策略例14.马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C53 种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同 的坐法有多
