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1、导数及其应用强化练习题型一导数意义及应用:例1-1】在平面直角坐标系 xOy中，点P在曲线C: y= x3 10x+ 3上，且在第二象限内， 已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为.答案 (1)( 2,15)解析 因为 y = 3x2 10,设 P(x, y),则由已知有 3x2 10= 2,即即 x2= 4, x= 又点P在第二象限， x= 2.则 y = ( 2)3 10X ( 2)+ 3= 15,点P坐标为(2,15).例 1-2 (2013 福建)已知函数 f(x) = x aln x(a R).(1)当a = 2时，求曲线y= f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程；
2、求函数f(x)的极值.解 函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)= 1 旦x2(1) 当 a = 2 时，f(x) = x 2ln x, f (x) = 1 (x0),x因而 f(1) = 1, f (1)= 1,所以曲线y= f(x)在点A(1, f(1)处的切线方程为y 1 = (x 1)，即x+ y 2= 0.(2) 由 f (x)= 1 - = -a, x0 知：x x 当a0，函数f(x)为(0 ,+s)上的增函数，函数 f(x )无极值； 当a0时，由f (x) = 0,解得x= a.又当 x (0, a)时，f (x)0,从而函数f(x)在 x= a处取得极小值，且极小值
3、为f(a) = a aln a，无极大值.综上，当a w 0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x= a处取得极小值 a aln a，无极大值.变式训练1(1)(2013湖北)直线y= 2x+ b是曲线y= In x (x0)的一条切线，则实数 b =答案 In 2 1解析切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值.y=丄,令1= 2，得x= 故切点为 In 1 ,x x2吃2丿1 1代入直线方程，得In 2= 2 x 2+ b,所以b = In 2 1.题型二利用导数研究函数的单调性例2已知函数f(x) = x2
4、+ aln x.(1)当a = 2时，求函数f(x)的单调递减区间；2若函数g(x) = f(x) + -在1 ,)上单调，求实数a的取值范围.x审题破题直接根据f (x) 0 或 g (x) 0在1 ,+s)上恒成立，2 2即a 2x在1 , + g)上恒成立，x设 0(x) = - 2x2,x 0. 若g(x)为1 , + g)上的单调减函数，则g (x)w 0在1, + g )上恒成立，不可能.实数a的取值范围为0，+g).变式训练2 已知函数f(x)= ln(2 x)+ ax.(1) 设曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线为I，若I与圆(x+ 1)2 + y2= 1相切，求a
5、的值;(2) 当a0时，求函数f(x)的单调区间.解(1)函数的定义域为(一g, 2).x 21 依题意得f (x)= a +.因此过(1, f(1)点的切线的斜率为a 1.又f(1) = a,所以过点(1, f(1)的切线方程为y a = (a 1)(x 1), 即(a 1)x y+ 1 = 0.又已知圆的圆心为(一1,0)，半径为1,依题意，有 f=2= = 1,解得 a= 1.7(a 1 2+ 1(2)f(x)= ln(2 x) + ax 的定义域为(g, 2),11f (x) = a +.因为 a0，所以 2 一0，解得 x2 一；a1令 f (x)0，解得 2-x0,所以f(x)在区
6、间1 , e上为增函数. 所以当x= 1时，f(x)取得最小值1 ； 当x = e时，f(x)取得最大值2e2 + 1.x 1 ,+ a),2 31 2证明设 h(x) = g(x) f(x)= ?x In x，则 h (x)= 2x2 x-x2x3 x2 12x 1 2x + X+ 11 h(x)h(1) = 10.6x当x (1, + a)时，h (x)0, h(x)在区间1 , + a)上为增函数，所以所以对于x (1 , + a ), g(x)f(x)成立，即f(x)的图象在g(x)的图象的下方. 变式训练 3 (2013 广东)设函数 f(x)= (x 1)ex kx2(k R).(
7、1)当k= 1时，求函数f(x)的单调区间；当k 1, 1时，求函数f(x)在0, k上的最大值 M.解(1)当 k= 1 时，f(x) = (x 1)ex x2, f (x)= ex+ (x 1)ex 2x= x(ex 2).令 f (x) = 0 得 X1= 0, X2 = In 2.列表如下:x(a, 0)0(0, In 2)In 2(In 2 , + a)f (x)+00+f(x)/极大值极小值/由表可知，函数f(x)的递减区间为(0, In 2)，递增区间为(一a, 0), (In 2 , + a). f (x) = ex + (x 1)ex 2kx= x(ex 2k),1T 2kw
8、 1, 12kw 2,由(1)可知f(x)在(0, In 2k)上单调递减，在(In 2k,+a)上单调递增. 、九1设 g(x) = x In 2x 2x 1 ,2 1则 g (x)= 1 2x= 1 x,111 一 c二XW 1, .iw2, 1g(1) = 1 In 20 ,1 20 即 kln 2k, f(x)在(0, In 2k)上单调递减，在(In 2k, k)上单调递增， f(x)在0 , k上的最大值应在端点处取得.而 f(0) = 1, f(k) = (k 1)ek k3,下面比较f(0)与f(k)的大小.令 h(k) = f(k) f(0) = (k 1)ek k3+ 1,
9、则 h (k)= k(ek 3k),再令 $(k)= ek 3k,则 / (k)= ek 3e 30, Kk)在 2, 1 上递减，而 $ 1 .帕)=-e3 (e 3)0,存在 x(2,1 使得 go) = 0,且当 k g,xo时，(f 0,当 k(x,1)时，$(k)0, h(1) = 0. h(k) 0在1, 1上恒成立，当且仅当k= 1时取综上，函数f(x)在0 , k上的最大值 M = (k 1)ek k3.题型四导数的综合应用:例4】已知函数f(x) = ax sin x |(a0)，且f(x)在区间0,才上的最大值为n 32(1)求函数f(x)的解析式；判断函数f(x)在(0,
10、 n内零点个数，并加以证明.审题破题(1)通过求最值可确定 a的值；(2)函数f(x)的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定.解 (1)f (x) = a sin x+ ax cos x= a(sin x+ xcos x). x o, 訂时，sin x+ xcos x0.又a0, f (x)0 , f(x)在0,才上是增函数.则 f(x)max= f n = na I=n， a= 1 ,3所以 f(x) = xsin x函数f(x)在区间(0, n内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，f(x) = xsin x 3，3 n n 3从而 f(o)= - 2o.由知，f(x)在o,
11、才上是增函数，且f(x)的图象连续不间断，f(x)在区间0, n上有唯一零点;当 x n,冗时，令 g(x) = f (x)= sin x+ xcos x,由10,g(n手一n 0且g(x)在n， n上的图象是连续不断的，故存在m牙，n ,使得 g(m)= 0.由 g (x)= 2cos x- xsin x,知 x g, n,时，有 g (x)g(m)= 0,即 f (x)0, 从而f(x)在n, m内单调递增， 故当x n，m时，f(x)苛尸兰0.故f(x)在；，m 上无零点；当x (m, n时，有g(x)g(m)= 0,即f (x)0, f( n )0且f(x)在m, n上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m, n内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0 , n内有且只有两个零点.变式训练 4-1(2013 辽宁)(1)证明：当 x 0,1时，sin xx;a的取值范围.3若不等式ax+ x2 + + 2(x+ 2)cos x 4对x 0,1恒成立，求实数(x) = cos x 则F(1)证明记 F(
