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1、 用相似打洞看矩阵易化背 景：在第六章与第七章的学习过程中，我们学习了用多项式与空间像与核的知识解决矩阵易化的方法。在这篇文章中,我们将用纯粹的矩阵相似打洞方法来解决矩阵易化的问题。关键词：相似打洞、矩阵易化一、 矩阵易化在矩阵运算过程中，我们可以明显的感觉到,如果一个矩阵的形式越简单,运算将会变得非常简单.最理想的情况是将矩阵变成对角化,但这往往做不到。这时我们退而求其次,于是便有了以下的过程:任意复方阵上三角化准对角化约旦化(有理化）。二、 相似打洞我们分别从两个方面来看相似打洞的情况吧!1、 打洞的方式打洞这一过程是靠可逆的过渡矩阵P来实现的，它有如下的三种方式:A.P= 逆=（换行与列
2、)BP逆(（行列乘以倍数）CP P逆=（ )（行列间加减） 2、打洞时会遇到的两种情况 A. ，这时若“*为0,则打为0；否则只能打成1。 B。 ，这时可将“*”打为0.下面将会给出任意复方阵上三角化准对角化约旦化（有理化)的系列证明.三、 系列证明1、 任意复方阵可以化为上三角化。复数域上的n阶方阵相似于上三角矩阵.B的主对角线元,，bnn就是A的全体特征值,并且这些特征值可以按预先指定的任何顺序排列。其中 证明：对做数学归纳. 当n=时由一个数a组成,当然是上三角阵,就是其特征值。 假设复数域上n1阶的方阵相似于上三角矩阵，其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。 我们证明阶的方阵相
3、似于上三角矩阵,其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。 设ui时的任一个特征值，X是属于特征值ui的特征向量.将1扩充为的一组基X,2,Xn，依次以X1，X，n为各列组成矩阵P1（X1,X2,Xn）。则P可逆.且由AX1=uX1知 A（X1，2，X)（1,X2，Xn） 即 A1=P1, AP1= 的特征多项式 （u)=(-ui) （）。因此，A2的全体特征值与ui一起就是A的全体特征值。根据归纳假设，n-1阶复可逆方阵P2使B22=A22P是上三角矩阵,B2的主对角线的全体元就是A22的全体特征值,并且可以按任何预先指定的顺序排列. 是n阶可逆方阵，且有 =）) 由于B22是上三角阵，
4、B)是上三角阵.取P=P ，则 AP= A 1 =B 是上三角阵，它的主对角元就是的全体特征值，并且可以按任意预先指定的顺序排列。 由数学归纳原理,定理的结论对任意的阶复方阵成立.2、 上三角阵化为准对角阵由于化为上三角阵的过程中,特征值的顺序可以是任意的，因此，我们将相同的特征值放在一起，于是形成下面的矩阵形式: 我们的目标是把它相似打洞成如下的情况： 在这里,我们定义属于u的准对角块.在前面，我们讨论过相似打洞会遇到的两种情况。而每个准对角块上的各个元“均处于第二种情况:,即可用相似打洞将其打成“0”.这是理论上的分析,实际操作过程叙述如下：从第二个准对角块的第一列开始进行相似打洞,逐列打
5、到最后一列。而每一列从最下面的一个元开始。这样，可以保证打掉的洞(即“0”）不会被后面的操作过程所填补。按照如此算法进行下去，任一个上三角阵可以准对角化。 总结一下，步骤1为将相同的特征值放在一起，形成一个“可以下手”的上三角阵；步骤2为从第二个准对角块上的第一列开始进行相似打洞，对于特定的一列，打洞总是从最下的一个元开始；步骤3为从此列开始逐列向右打洞，直至最后一列.这样，准对角化完成。3、 准对角阵可以约旦化由于以上的操作过程已经将任意的复方阵打成了准对角阵的形式，且幸运的是每一 个准对角块是属于一个特定的特征值ui的。我们不妨分别找出每一个准对角块Ai的过 渡矩阵Pi使得Ai Pi相似于
6、Ji，于是对于A而言,就有 = 便实现了约旦化过程.剩下的问题就是找出Pi了，即一个相似打洞的过程。在给出一个具体的操作过程之前，我们来讨论两个问题。 Q1：相似打洞的约旦化过程可以撇去ui不看. 可以令i=Aiui I,而Ai =Ji（0),则(Ai )Pi=Ji（)，即有Aii(ui)，而以上各步可逆，故有此结论。 Q：讨论一种特殊情况的相似打洞方法 这种特殊的情况遇见的方阵如下所示:(），其中，右下角的行(列)数大于左上角的.这样，让倒数第二行加上去打掉最后一列的1,此时倒数第二列会有一个0被1填上,如下图所示 （ ）以此类推,再将倒数第三行加上去消掉倒数第二列的1,此时又会有倒数第三列
7、的被1填上但总的来说，被填上的1是呈往左上移动的趋势。由于右下角的行（列）数大于左上角的,到最后总会出现如下的情况:（ )此时，只需要再如此打一次,将此列的打掉,对应的就是将第一列加到此列的前一列去。由于第一列全是0,故无影响.最后打成了如下的情况,便是约旦型了:( ) 讨论完这两个问题之后,我们来看看如何用数学归纳法进行约旦化的相似打洞。我们对列进行归纳。如果只有一列，显然可以打成约旦型。假设对K列成立，我们来看看如何打第K+列.首先应用归纳假设，将前K列打成约旦型.但这里对此约旦型有一定的约束条件，那就是约旦块的阶数从左上到右下依次升高。（这里的约束条件是为了迎合Q2中的条件,即右下角的行
8、（列)数大于左上角的）那么此时前K+1列矩阵如下图所示: 当最后一列的“”不为0时,如果可以用前面K列中某一列的打掉，对应的相似变换就是将最后一行加到对应的某一行去.由于最后一行全是0，故不会影响矩阵的形式,因此，此矩阵变为: 现在分情况讨论:A. 倒数第二行的“*为1。这样的话，最后一列其他位置的“*”若为0，则不需要打洞；若为1，则可以转化为Q2里面谈到的情况。由于前K列约旦块的特殊排列顺序，使得总会满足Q2里面的条件，于是按照Q2中的方法进行打洞，到最后利用每一个约旦块前一列的，使得将“”处的1彻底地打掉而不改变其他位置的情况.而最后一列最上面的一系列“”（他们对应的前列约旦阵处全为0)
9、,这里只需要将倒数第二列的1加上去打掉“*”即可。由于他们对应的前K列约旦阵处全为0，因此对应的加到某列后是不会引起矩阵形式的变化的.B. 倒数第二行的“*”为0.则从下往上找到第一个不为0的“*。假设在第L行找到第一个不为的“”，即，将最后一列与第L1列进行交换,对应的最后一行与地+1行进行交换，于是出现如下的情况: 这时,先看从L+1列到最后一列的情况。 将第L1列与最后一列进行交换，对应的第L行与最后一行进行交换，则出现如下情况：然后接着将第L+2列与最后一列进行交换,对应的最后一行与第L+2行进行交换依次做下去,发现其规律时这样的:将L+1列到最后一列的副对角线上的0与1依次向右下推了
10、一个“身位”，最终变成了如下形式： 而对于前L列的矩阵： 则可以按照A中的方法进行打洞,将所有的“*打为0.这样,也就完成了对第K+1列的相似打洞过程。综合。B两种情况，对于第K1列的打洞过程完成.即完成了从K列到K+1列的数学归纳。从而完成了矩阵约旦化的过程.4、约旦化与有理化的关系当我们将一个复矩阵易化为约旦标准型时,我们可以看到每一个约旦块实际上是一个循环子空间.如果它是m阶的约旦块，那么它就是一个属于对应的特征值的次根向量生成的循环子空间。不妨令这个次根向量为b，记=(b)，那么线性变换A限制在此循环子空间上的映射在基，,下的矩阵为约旦块： 现在再令=（b)，那么线性变换A限制在此循环
11、子空间上的映射在基，,下的矩阵为有理标准型： 其中，是b的最小多项式的各项系数。(）=u+）。也就是说，二者是同一种变换在不同基下的矩阵，这时只要找到两组基,，与，的过渡矩阵P即可。 这样,我们证明了约旦块可以有理化.二者可以相互转化，只是换一组基的问题。文章总结：总的来说，相似打洞的方法与课本上的方法是殊途同归的。而相似打洞的方法有着其明显的直观性与较好的可操作性。用它来进行矩阵易化主要把握两个核心点：一个就是熟练地处理好相似打洞的方式以及会遇到的两种情况（即正文第二部分）；第二个就是找对顺序后用数学归纳法逐行或者逐列地进行打洞.把握好这两点,用相似打洞处理矩阵易化的一般化套路也就掌握了。文中如有不足，请您见谅！ /
