《傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶变换的由来及复数下的傅里叶变换公式证明（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1、考虑到一个函数可以展开成一个多项式的和，可惜多项式并不能直观的表示周期函数， 由于正余弦函数是周期函数，可以考虑任意一个周期函数能否表示成为一系列正余弦函 数的和。假设可以，不失一般性，于是得到：/（门=如 + 工 Aiasin（ nwi 斗弘），2、将后面的正弦函数展开：A sin( nuyt +(pn) = sin 趴 cos nwi + An cos 卩 “ sin n(at,于是得到：那么如何计算an,bn,a0这些参数成为能否展开成为正余弦函数的关键。上面的这些积分为 0 被称之为正余弦函数的正交性。这些证明很简单，可惜当初学习 正余弦函数的时候可能遇到过，但是却不知道这些东西能
2、干什么用。下面的处理手段凸 显了大师的风范：如果我们队原函数进行如下积分，得到很神奇的东西：J.cxjs7 bksi 11后面的积分很明显是0,于是我们求出了 a0的值。 那么如何求出an,如果让原函数乘以cos（nx）再进行积分。j /（JE ）S ttjdjc啓; Mt &LIS Ek cos工十 f如利用三角函数的正交性，可以得到：再用sin（nx）乘，再进行积分就会得到bn,于是乎得到了一个任意函数展开成为正余弦函数的通用表达式，同时为什么会出现 A0/2而不是直接的A。的原因也很明朗：就是让整个表达式更具有通用性，体现一种简洁 的美。通过了以上的证明过程，应该很容易记住傅里叶变换的公
3、式。 到此为止，作为一个工程人员不用再去考虑了，可是作为每一个数学家他们想的很多， 他们需要知道右侧的展开式为什么收敛于原函数，这个好难，有个叫Dirichlet的家伙证 明出如下结论：定理收敛定理，狄利克雷imh上门充分条件）设川才）是周期为的 周期函数如果它满足：（1在一个周期内连续或只有有隔个第一类间斷点*!2）在一个周期内至罢只有有限个极值点.则代小的傭里叶级数收复并且当-r是Jj）的连壤点时.级数收敕于4 ；:当r是八.八的间断点时.级数收敛于y/（T） + /（J. * ）、有兴趣的可以继续找书看，可惜我有兴趣没时间至此以2 n为周期的傅里叶变换证明完毕，只不过我们经常遇到的周期函
4、数我想应该 不会这么凑巧是2 n,于是乎任意的一个周期函数如何知道其傅里叶变换呢，数学向来 都是一个很具有条理性的东西，任意周期的函数的傅里叶变换肯定也是建立在2 n周期 函数的基础之上的。也就是说如何让一个以21为周期的函数变成一个以2 n为周期的函数，于是乎可以使 用z=2 n *x/（2l）,这样就z就是一个以2 n为周期的函数了，于是乎得到如下公式：傅里叶函数看起来其实还是比较复杂的，有没有一种更简单的表达形式来表示呢。既 然提出这个问题，肯定是有的，我个人猜想肯定是复变函数大师在挖掘复变函数的时候 用复变函数去套用经典的傅里叶变换，偶然间发现的一个基本的欧拉公式ei匹cos 9 +i
5、*sin 9，这个很容易可以从复数的几何意义上得知,达形式：i0 +我们通过取两个互为相反数的e可以得到两个式子,进而可以得到cos和sin的复数表cos n t + b sin n t),L (1)0n0n =1f (t) = o + y (a (ej叫 + e-jno0t) b (ejno0t e-jno0t)2n 2n 2n=1a y .a 一 jba + jb.=0 +(nn e jn0t H nn e- jn叫t ).2 2 0 2n=11 Ft二J 2匸打(t )dt,-27 f r Zr (0 cos nej&f j J y (r) sin1 T.=J 2 f (t)cos no t 一 j sin no tdt一T00一 21 f =J 2 f (t)e-jnO0tdt, (n = 1,2,3, L L )一 T T一 2同理：c =-nn = J2 f (t)ejnO0tdt, (n = 1,2,3,L L ),-n2 一T 一 21 Ptc = J 2 f (t)e-jn0tdt, (n = 1,2,3,L L ) n 一一 21 f no =o c =nnJ 2 f (t)e-叫dt.T - T-2f (t) = c + 兰c ejnt + c e-叫T0n一 nn=1即：f (t)=艺 cet,(n = 0, 1,2, 3,L L )L Tn =一8
