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1、初中竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义内容提要和例题1. 概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=，等等都是概念。2. 概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果， 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，3. 正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。4. 理解概念就是对
2、名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面： 明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵； 明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。5. 概念的定义就是用语
3、句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。数学概念的基本定义方式是种属定义法。在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）种属定义法可表示为：被定义的概念种概念类征（或叫属差）例如：方程等式含未知数又如：无理数小数无限不循环 或 无理数无限小数不循环再如 等腰三角形三角形有两条边相等6. 基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。不定义的基本概念一般用描述法，揭示它
4、的本质属性。例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。7. 概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为 有限小数和无限循环小数叫做有理数。整数和分数统称有理数。前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”
5、来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。8. 正确的概念定义，要遵守几条规则。不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义） 定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。 定义用语要简单明确，不要含混不清。 一般不用否定语句或比喻方法定义。9. 定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。 例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用
6、来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。所以由定义可得等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。10. 数学概念要尽可能地用数学符号表示。例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在ABC中，ABAC直角三角形，要写出哪个是直角，在RtABC中，CRt又如实数a的绝对值是非负数，记作0，“”读作大于或等于。11. 运用定义解题是最本质的解题方法例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。如：化简：可等于解方程：2x+1可
7、化为当x-1 (B) a=1 (C) a1（D）非以上答案 （1987年全国初中数学联赛题）初中数学竞赛辅导资料(30)概念的分类内容提要1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2. 概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。分别表示如下：整数整数整数整数3. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对
8、象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等。例如正整数按下列分类是正确的正整数正整数如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4. 二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形平面内两条直线位置实数可分为：非负
9、实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：三角形代数式等腰三角形有理式等边三角形整式单项式6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关
10、系的概念。可图示如下:7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠。一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:例题30例1.把一元一次不等式axb(a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：axb的解集例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。解：设底边长为xcm,则腰长是cm 当腰比底大时是x=3 x=36当腰比底小时是x=3 x=7 =4答（略）例3.化简（2解：要使有意义，必须且只需x+10，即x1（2x+12x1当1x1时，原式（x1）+x10当x1时，原式x 1x12x2化去分母根式时，要乘以，当x=y 时，不能进行。故当x=y 时当xy时例4.设a,b,c是三个互不相等的正整数
