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1、数学建模工厂生产筹划模型学院：数学与记录学院专业:信息与计算科学教师:郑 小 洋姓名:杨 秋 燕学号:摘要本文以工厂所获得的总收益为研究对象,采用了线性规划的分析措施，通过求解不同产品的生产筹划以及按筹划生产所获得的利润,解决了工厂为达到最大总收益的产品生产筹划问题。在问题一的求解过程中,以每月每种产品的销售量和生产量为自变量,以工厂所获得的收益为目的函数，结合多种约束条件，建立了一种动态规划方程组,将各月份多种产品生产的最佳配备转化为动态规划方程组的求解问题,得到了最大收益为6.9万元。问题二在问题一的基本上考虑了市场价格的变化及引入新机床两个因素，为使模型简化，一方面考虑市场价格的变化对筹
2、划和收益的影响。然后假定市场价格不变，运用ino软件,模拟出引入新机床对筹划和收益的影响。它是问题一的拓展,通过更改约束方程，运用模型一的计算程序，从而得到拓展模型的最优解。核心字:总收益 销售量 生产量 动态规划 一、问题重述某厂拥有4台磨床、台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床,用以生产7种产品,记作P1至P7。工厂收益规定为产品售价减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表:产品PP2P3PP56P收益68419磨0.50.0000.30.20.垂直钻孔0.0.20.300水平钻孔.200.800.镗孔0.00.030007.100.08刨
3、0000100.0500.05本月（一月)和随后的5个月中，下列机床停工维修:一月 磨床一台二月 卧式钻床2台三月 镗床一台四月 立式钻床一台五月 磨床一台,立式钻床一台，上台下六月 刨床一台，卧式钻床一台多种产品各月份的市场容量如下表:产品1P23P4P7一月 5010003030080020100二月 605200403005三月 006000000400100四月 2003040000200010五月 1000010010003000六月5005010001050060每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为.5。目前无存货。规定到月底每种产品有存货5件。工厂每周工作6天,每天2班,
4、每班小时。不需要考虑排队等待加工的问题。、为使收益最大，工厂应如何安排各月份多种产品的产量?（考虑价格的某种变化及引入新机床对筹划和收益的影响。注意,可假设每月仅有24个工作日。)2、在工厂筹划问题中,各台机床的停工维修不是如问题( I )那样规定的月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每台机床在这个月6中的一种月必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂筹划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值如何？二、模型假设1. 机器除维修时期外,其她时间均能正常工作,2. 不需要考虑排队等待加工的问题,3. 产品在储存过程中不发生质量问题，.该工厂生产的
5、产品除存货外,在不超过市场容量的状况下均能售出,5.市场价格的变化对产品原料和销售价格均有影响.三、模型分析及建立模型符号 意义 k种设备的总数量 第种设备第j个月的可用数量 第i种产品的单件收益 第j个月第种产品的单件收益 第j个月第i种产品的生产量 第个月第i种产品的存储量 第k种设备生产每个产品的用时 第j个月第i种产品的市场容量 第j个月第i种产品的销售量 第个设备第月能用的数量1、符号阐明、模型的分析.需解决的问题按照题意，需要解决的问题是给出一种优化的产品加工方案，方案应涉及每月每种机床的加工多种产品的数量,以使得工厂所获得的收益最大。2.达到的目的工厂的目的是获得最大利润,对于本
6、题,产品生产的利润等于产品的收益乘以产品的数量减去库存产品的存储费用。本题要达到的目的就是通过建立数学模型谋求收益的最大化。 2.3约束条件由于利润等于产品的总收益减去库存产品的存储费用，就是说影响利润有产品的数量、库存产品的存储费用量两个因素，运用其约束条件将转化为求解动态规划方程组的问题,现分别对它的约束条件作如下分析。(1）机床每月可工作时间的约束工厂每周工作天,每天2班,每班小时，因此每台机器每月（按0计算）最多可以工作41小时，即满足; (2)多种产品销售量的约束.每种产品每月的销售量由市场容量及该种产品的存货量决定,题中已给出多种产品各月份的市场容量表及最大存货量00件,故销售量应
7、不不小于等于市场容量与存储量之和即；;(）六月份每种产品的存货应为50件.；（4）机床停工维修时间的限制由于每月份均有机床停工维修(见题表)，经分析，当该种机器处在维修状态时，其可用台数会减少从而影响多种产品的生产数量，进而影响总的销售额。3、模型的建立与求解3.1工厂合理安排各月份多种产品的生产使收益最大的模型3.1模型的建立（1）目的函数题目的目的是谋求利润的最大化,而利润Y为半年的收益的和,即 ; 每月总收益由各品种产品的收益之和，即 ；库存产品的存储费用为可表达为 ;目的函数可表达为;化简得 ；(2） 约束条件由以上分析可得到如下约束条件.;.目的函数与约束条件的优化模型即为问题一的模
8、型。3.2模型的求解我们根据建立的线性规划模型,通过o软件编程(程序见附录）,得到了工产品加工筹划的最大值为69256万元。具体的生产安排筹划见表1 产品月份一月生产量(个)550500505050销售量(个)005055050二月生产量(个)60552393450393200销售量(个)60502004030015三月生产量（个)00003940销售量（个）505005040050四月生产量(个)2753873442870175销售量(个)20030040050000100五月生产量(个)0888889882880销售量(个)010510100300六月生产量（个)447525075销售量(
9、个)5050053002500表 问题一的产品加工筹划3.1.3成果分析:加工筹划与当月能用的机床、市场容量、加工产品的时间及加工产品的单项收益有关，尽量在前期避免生产量不小于销售量,否则会增长存储费用从而增长成本,尽量增大单项收益高、加工时间短的产品的生产量3.问题二的模型建立与求解.2.、该问研究市场价格的某种变化及引入新机床对筹划和收益的影响。为简化模型，我们先分析市场价格对筹划和收益的影响，然后在此基本上，由小到大逐个增长五种机床的引进数量并分析总收益的变化趋势来反映其对引入新机床对筹划和收益的影响。市场价格对单个产品的售价和原材料成本均有影响,不妨假设,单个产品的收益月减少率为x,则
10、第j个月单个产品的利润 = ；其中为第1个月第i个产品单件的收益。故可以建立总收益的目的;其他约束条件均不变。当x从00每次逐渐增长0.2时，运用lino软件（程序见附录2),得到相应每个x值时的最大总收益,如下表2所示x0.10030.07090.110130.10.101总收益(元)65536186743643386233152860123587857315508表不同x值时的最大总收益用EXCL软件绘图,得到图1:图1:最大收益率与市场价格与增长率的关系从表中可以发现,最大总收益随x的增大而基本呈线性的减小,且总收益为正。接着考虑市场价格不变，即单项产品收益不变时引入新机床对筹划和收益的
11、影响,由于磨床加工耗时比较长，因此考虑磨床的引进对总收益的影响。如一方面讨论磨床的数量由4逐次增长至8的过程中,总收益的变化趋势来衡量引入磨床对总收益的影响。用ling软件进行求解（程序见附录3)，分析成果发现引进磨床没有对总收益产生影响，总收益仍为6926元。再进行研究,发现引进立式钻床、卧式钻床对总收益也无影响。但当单独引进一台镗床时总收益变为842元，比本来增长了11169元。当单独引进一台刨床时，总收益变为81786元，较本来增长了12530元。当引进一台镗床和一台刨床时，总收益为9295元,较本来增长了2399元。总收益共这四种成果，在引进机床无影响。从引进机床的成果可以看出，原题中的机床维修对总收益并无很大影响。因素也许是总收益还受到市场容量以及存储量的限制，因此多引进机床并不能多生产。而引进镗床和刨床则会使生产方案发生变化,由于原有的这两台机床就很少,并且在某一月中还要进行维修。322（1）模型的改善 由于机床的停工维修时间不作预先规定,而是选择最合适的月份维修，对多种产品每月的加工数量的限制变化了。针对这个状况，对于问题三的模型，仍采用问题一的模型,只但是对约束条件进行了修改。目的方程; (2）约束条件由以上分析，可得到如下约束条
