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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料第2课时半角公式及其应用核心必知正弦、余弦和正切的半角公式半角的正弦公式sin _半角的余弦公式cos _半角的正切公式tan 问题思考1半角公式适用条件是什么？提示：cos ，sin 中，R，tan 中， 2k，kZ，tan 中，k，kZ.2半角正切公式中的三个公式各有什么优缺点？提示：无理式公式的优点是只含一个函数cos ，缺点是含有“”号，需判断所在的象限来确定tan 的正负；有理式公式的优点是不用判断所在的象限，缺点是需知道sin ，cos 两个函数的值才能计算讲一讲1已知cos ，为第四象限的角，求tan 的值尝试解答法一：(用tan 来处理
2、)为第四象限的角，是第二或第四象限的角tan 0.tan .法二：(用tan 来处理)为第四象限的角，sin 0.sin .tan .法三：(用tan 来处理)为第四象限的角，sin 0.sin .tan .在求半角的正切tan 时，用tan 来处理，要由所在的象限确定所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符号；而用tan 或tan 来处理，可以避免这些问题尤其是tan ，分母是单项式，容易计算因此常用tan 求半角的正切值练一练1已知sin ，180270，求sin ，cos ，tan 的值解：180270，900，cos 0.故原式 |cos |cos .利用半角公式进行化简时，
3、应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 212sin22cos21)去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin2，cos2)降低次数以减少运算量，注意隐含条件中角的范围练一练2化简：(1tan xtan )解：原式(1)sin x(1)sin xtan x.讲一讲3求证：sin 2.尝试解答左边sin cos sin 2 右边1证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证2常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法3证明条件三角恒等式，首先应观
4、察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法练一练3求证：sin21.证明：由sin ，知sin ，sin2，sin211，原等式得证化简：(90180)错解是第二象限角，原式 cos .错因错解中把的范围错误地当作的范围，从而判断cos 的符号时出现错误正解原式.又90180，450，原式cos .1tan 15等于()A2B2C.1 D.1解析：选Btan 15tan2.2设(，2)，则 等于()Asin Bcos Csin Dcos 解析：选D(，2)，.cos 0.原式 |cos |cos .3已知sin 2，(0，)，则tan 等于()A
5、. B.或C. D.解析：选C002.cos 2 .tan .4已知cos ，270360，那么cos 的值为_解析：270360，135180，cos 0.cos .答案： 5已知sin 且3，则tan _解析：3，cos ，又bcBabcCacb Dbca解析：选Casin 30cos 6cos 30sin 6sin 24，bsin 26，csin 25.由242526可得acb.4化简4cos2(tan )的结果为()Acos sin Bsin 2Csin 2 D2sin 2解析：选B原式4cos22cos2tan 2cos22sin cos sin 2.二、填空题5计算：sin _解析
6、：sin .答案：6在ABC中，若cos A，则sin2cos 2A的值为_解析：cos A，原式cos2cos 2A2cos2A12()21.答案：7化简：_解析：原式2tan 22tan 2tan 2.答案：tan 28已知sin cos ，若450540，则tan _解析：由条件知12sin cos ，2sin cos ，即sin 又450540，cos 0，cos .tan 2.答案：2三、解答题9求值：sin 10(tan 5)解：原式sin 10()sin 102cos 10cos 30.10已知函数ycos2xsin xcos x1(xR)，求函数的最大值及对应自变量x的集合解：ycos2xsin xcos x1cos 2xsin 2xsin(2x)，y取最大值，只需2x2k(kZ)，即xk(kZ)ymax.当函数y取最大值时，自变量x的集合为.
