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1、新高一数学初升高数学衔接班第2讲二次根式通用版初高中衔接课程第二讲：二次根式初遇分母（子）有理化一、学习目标：1. 了解无理式、有理式的概念，进一步熟悉二次根式的运算方法。2. 能进行二次根式的运算和化简，会进行分母有理化。二、学习重点：二次根式的化简与运算三、课程精讲：1. 知识回顾：1）二次根式式子（a0）叫做二次根式。 2）最简二次根式同时满足：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中含能开得尽方的因数或因式。 这样的二次根式叫做最简二次根式。3）同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。4）二次根式的性质（）2=
2、a（a0）； =a=；=（a0，b0）； （b0，a0）。例1. 填空题：（1）若式子有意义，则x的取值范围是_。（2）实数a，b，c如图所示，化简ab+=_。思路导航：回忆二次根式的定义与性质解答：（1）由x30及20，得x3且x7。 （2）由图可知，a0，cc=a，ab=ab，=b+cab+=c。例2. 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A. 和B. 和C. D. （2）在根式1）中，最简二次根式是（ ）A. 1） 2） B. 3） 4） C. 1） 3） D. 1） 4）（3）已知ab0，a+b=6，则的值为（ ）A. B. 2 C. D. 思路导航：回忆同类二次根
3、式、最简二次根式的概念解答：（1）=3，与不是同类二次根式，A错。 =，与是同类二次根式，B正确。=a，C错，显然，D也错，选B。（2）选C。（3）ab0，（+）2=a+b+2=8，（）2=a+b2=4，故选A。 2、新知探密：知识点一：二次根式的性质（1）无理式：根号下含有字母、且不能开得尽方的式子称为无理式。例如 ，等是无理式，（2）有理式：如，等是有理式。 例1. 化简下列各式（1）（2）。 思路导航：应用性质=解：（1）（2）原式=当时，原式=1当时，原式=2点津：化简绝对值中含有字母的式子时，要注意绝对值符号内式子的符号（即正、负性）知识点二：分母（子）有理化把分母中的根号化去，叫做
4、分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程例2. 计算：。 思路导航：去掉分母中的根号解法一：。 解法二：。 点津：在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。 例3. 化简 ：（1）（2）思路导航：多
5、项式乘法公式、分式法则解：（1）原式=（2）原式=点津：二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数中各项的次数不高于1。仿练：已知，求的值。思路导航：先化简再求值。解：，。 点津：有关代数式求值问题：（1）要注意已知条件与所求值的代数式的关系，先化简再求值 （2）当直接代入运算较为复杂时，可根据结论式的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代换可简化计算量。【拓展篇】例4. 试比较下列各组数的大小：和。思路导航：有些问题，按常规的思路解比较麻烦，为了化繁为简，减少计算量，可以利用数与式的特点，对其适当的变形，这种变形其实是一种解题技巧。解：，又，。 点津：比较两个无理
6、数的大小的一般方法是：通过平方，把无理数化为有理数来比较大小。但本题巧妙的运用有理化知识，将分子有理化后，转化为比较分母的大小，计算量小，解法简便。仿练：比较和的大小解：又 42，42，。例5. 化简：。 思路导航：运用乘法公式简化计算解：。 点津：对于化简的题目，首先应仔细观察题目，观察多项式之间是否存在某种内在联系。如本题与互为有理化因式，那么结合幂的运算性质，可以极大的简化计算。例6. 化简：（1）； （2）。 思路导航：将被开方式凑成完全平方式解：（1）原式。 （2）原式=，所以，原式。 点津：对于根式的化简，往往需要被开方式凑成完全平方式，这是常用的化简方法。注意结合完全平方公式合理
7、进行凑配。【点击高中】1、推导椭圆方程化简：解： -将式左边分子有理化，得 即 -由+可得， 两边平方整理，得又 ，故，即 2、解不等式：解：原不等式左边分子有理化，得， 解得故原不等式的解集是【小结】上述两小题直接证明都较有困难但深入分析数式结构，运用构造思维，结合分子有理化就能打通思路，使论证顺利进行，可见运用分子有理化能使得问题的解决柳暗花明。 在高中，分子、母有理化是根式运算的基本要求，它在解方程、解不等式、证明不等式等诸多方面都有广泛的体现，这已得到广大高中同学们的重视和认可希望同学们在进入高中以后也能够充分重视它们在运算中的作用四、知识提炼图五、目标期望同学们在初中已经学习过被开方
8、数是实数的根式运算，对被开方数是字母的情形并没有深入接触，而且在初中没有学习分母有理化和分子有理化等化简技巧，而这些根式的运算技巧在高中数学中会经常用到。希望本节课后同学们能够熟练地进行根式的化简和运算。六、下讲预告下节课我们将学习重要的恒等变形因式分解，主要介绍初中没有提及到的乘法公式法、十字相乘、分组分解法等。七、同步练习（一）选择题 1. 函数中自变量的取值范围是（ ）A. B. C. D. 2. 若，则xy的值为（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 33. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 4. 估算的值（ ） A. 在1到2之间B. 在2到3之间C.
9、在3到4之间D. 在4到5之间（二）填空题1. 16的平方根是 。2. 计算：= 。 3. 函数自变量的取值范围是 。 4. 当时，化简的结果是 。 5. 有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？A. B. C. D. E. 问题的答案是（只需填字母）： ；（三）解答题1. 计算：。 2. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（一）（二）（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化。还可以用以下方法化简：（四）（1）参照（三）式得_；参照（四）式得_。（2）化简：。3. 先化简，再求值：，其中。 4. 先化简，再求值：，其中。 【试题答案】（一）选择题1. B 2. C 【解析】本题考查二次根式的意义，由题意可知，xy=2，故选C。 3. C4. C（二）填空题1. 4 2. 3. 4. 1 【解析】二次根式的性质及绝对值的化简，原式=1x+x=15. ；（三）解答题1. 解：。 2. 解：（1），；（2）原式=。3. 解：。 当，时，原式4. 解：原式=。将代入上式得原式=。
