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1、常微分方程 稳定性理论6.4 李雅普诺夫第二方法 上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的. 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数V(x) 和通过微分方程所计算出来的导数dV(x)的符号性质,dt就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 为了便于理解,我们只考虑自治系统 (6.11) dx=F(x), xRn dt假设F(x)=(F1(x),L,Fn(x)T在G=xRnxK上连续,满足局部利普希茨
2、条件,且F(O)=O. 为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数 V(x):GR 满足V(O)=0,V(x)和V(i=1,2,L,n)都连续,且若存在00(0(e0 xG由V(O)=0和V(x)连续知存在d0(de),使当xd时, V(x)b,于是有xd时, x(t,t0,x0)e,(6.12) 若上述不等式不成立,由xdt0,当tt0,t1)时, x(t,t0,x0)e,而x(t1,t0,x0)=e,那么由b的定义,有 tt0 V(x(t1,t0,x0)b (6.13) 另一方面,由条件(2)知dV(x (t , t0 , x0 )0在t0,t1上成立,即tt
3、0,t1时, dt V(x(t,t0,x0)V(x0)b 自然有V(x(t1,t0,x0)0总成立,那么存在a0使 limV(x(t,t0,x0)=a t+假设a0,联系到V(x(t,t0,x0)的单调性有 aV(x(t,t0,x0)t0成立.从而由V(O)=0 知存在h0,使tt0时 hx(t,t0,x0)e (6.16) 成立. 由条件(2)有 dV M=maxt0积分得 V(x(t,t0,x0)-V(x0)M(t-t0) 该不等式意味着 limV(x(t,t0,x0)=- t+矛盾.故a=0,即 limV(x(t,t0,x0)=0 t+由于零解是稳定的,所以x(t,t0,x0)在t0,+
4、上有界,再由引理知limx(t,t0,x0)=O.定t+理证毕. 例 2 证明方程组 .x=-y+x(x2+y2-1).22y=x+y(x+y-1)(6.17) 的零解渐近稳定. 证明 作李雅普诺夫函数 V(x,y)=有 12(x+y2) 2dVdt(5.17)=(xx+yy)(5.17) . =(x2+y2)(x2+y2-1) 在区域D=(x,y)x2+y21上V(x,y)正定, dVdt(5.17)负定,故由定理6.2 知其零解渐近稳定. 最后,我们给出不稳定性定理而略去证明. 定理 6.3 对系统(6.11)若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足 dV (1)dt=i=1n(5.11)VFi(x)正定; xi (2) V(x)不是常负函数, 则系统(6.11)的零解是不稳定的. 6.3 平面自治系统的基本概念 本节考虑平面自治系统 .x=P(x,y) . y=Q(x,y)(6.18) 以下总假定函数P(x,y),Q(x,y)在区域 D:xH,yH, (H+) 上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.
