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1、第3讲圆锥曲线的综合问题考情研析1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题,定点、定值问题，探索性问题2。试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大。核心知识回顾1。最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值2范围问题求参数范围的问题,牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是A0或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等3定点问题在解析几何中，有些含有
2、参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化,其都过某定点，这类问题称为定点问题4定值问题在解析几何中，有些几何量,如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题5存在性问题的解题步骤(1) 先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2) 解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在热点考向探究考向1最值与范围问题角度1最值问题例1已知抛物线C的方程为y2=2px(p0),点R(1,2)在抛物线C上.(1) 求抛物线C的方程;(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B,若直线ARBR分别交直
3、线l:y=2x+2于MN两点，求|MN最小时直线AB的方程.解丁点R(1,2)在抛物线C：y2=2Px(p0)上，；4=2p,解得p=2,抛物线C的方程为y2=4x。(2)设点A(xi,yi),B(x2,y2),直线AB的方程为x=m(y1)+1,nr0,由错误！消去x并整理得y24m什4(m-1)=0,y1+y2=4my1y2=4(mi-1),设直线AR的方程为y=k(x-1)+2,由错误！解得点M的横坐标x户错误！，又k1=错误！=错误！=错误！，xv错误！=错误！，同理点N的横坐标xn=一错误！，Iy2-y1|=错误！=4错误！，IMN=错误！|xmXN|=错误！错误！二2错误！错误！=
4、8错误！错误！=2错误！错误！，令m-1=t,tw0,贝Umi=t+1,IMINI=2错误！错误！错误！，当t=一2,即m=1时，|MN取得最小值#5,此时直线AB的方程为x+y2=0.方法指导解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数法等)解决的.对点精练2x,(2019湘赣十四校局三联考)已知椭圆C：错误！=1(ab0)的离心率为错误！，左a焦点为F
5、1,点A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AE的斜率为1时，|AF|=2。(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AF与椭圆C的另外一个交点为B,点A关于x轴的对称点为A,求FiAB面积的最大值.解(1)解法一：=e=错误！=错误！，.a2=2c2,又a2=b2+c：.b=c。.当直线AF的斜率为1时，直线AF通过椭圆上的顶点，|AF|=错误！=a=错误!.又a2=2c2,b=c,-b=1,椭圆C的方程为错误！+y2=1。解法二：设椭圆的右焦点为F2,在AFF2中，|AF|=错误！，|AF|=2a错误！，|F1F2|=2c, .(2a错误！)2=2+(2c)2-2错误！2ccos45,即a2a
6、=c2c。又.e=错误！=错误！，；a=错误！c。联立，得a=错误！，c=1,又a?=b?+c?,b=1.椭圆C的方程为错误！+y2=1。解法三：=e=错误！=错误！，.a2=2c2,又a2=b2+c2,；a=错误！b=错误！c。椭圆C的方程可化为错误！+错误！=1,即x2+2y2=2c2。又直线AF的方程为y=x+c.联立，得x2+2(x+c)2=2c2,即3x2+4cx=0,；x=0或x=一错误！c.直线AF的斜率为1且A在x轴上方，xa=0,A的坐标为(0,b).IAFI=，c+b2=a,.a=错误！,又a=错误！b=错误！c,b=c=1.椭圆C的方程为错误！+y2=1.(2)如图，:A
7、在x轴上方，直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my-1.Fi,A,B三点能构成三角形，直线AB不垂直于x轴， F0,设A的坐标为（xi,yi）,B的坐标为（X2）,则A的坐标为（xi,yi）.联立错误！得（myi）2+2y2=2,即（2+m2）y2-2my-1=0,2m yi+y2=-2,y1y2二一错误!.2+m解法一：SzFiAB=&baaSzFiAA=错误！|AA|X2xFi|=yi|X2+i|=yi|myI=Imyy2|=错误！=错误！w错误！=错误！，当且仅当错误！=1m即|m=错误！时取等号. .FiAB面积的最大值为错误！。解法二：直线AB的方程为y+yi=错误！（xx
8、i）,令y=0,则x=错误！+xi=错误！=错误！=错误！一i=错误！一i二2, 直线AB过定点（一2,0）,设定点为T,则SAFiAB=|SAFiTB-SAFiTA|=错误！=错误！|y2+yi|=错误！=错误！W错误！=错误！，当且仅当错误！=|m|即|m|=错误！时取等号. .FiAB面积的最大值为错误！。角度2范围问题例2(2019广东高三联考)已知椭圆C,抛物线G的焦点均在x轴上，C的中心和G的顶点均为原点O,从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3,2，3),(2,0),(4,4),错误！.(1)求C,G的标准方程；(2)过点M0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且/AO
9、M锐角(其中。为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.解(1)由题意，抛物线的顶点为原点，所以点(一2,0)一定在椭圆上，且a=2,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2,所以错误！也在椭圆上，错误！+错误！=1,b2=1,故椭圆C的标准方程为错误！+y2=1,所以点(3,2错误！)，(4,4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其抛物线G的方程为y2=2px,12=6p,p=2,所以抛物线G的方程为y2=4x。(2)当直线l斜率不存在时，易知AOB三点共线，不符合题意.当l斜率存在时，设l:y=kx+2,A(x%yO,Rx2,均,22由错误！得x+4(kx+2)4=0,即(4k2+1)x2+
10、16kx+12=0,令=(16k)248(4k2+1)0,即256k2192k2480,得64k248,即k错误！，x+x2=错误！，x1x2=错误！，2.W(kx+2)(kxz+2)=kx1x2+2k(m+x?)+4=错误！一错误！+错误！=错误！，./AOB锐角，错误！错误！=x1x2+yy2=错误！0,2即4k16,得一2kb0)的长轴长为2错误！，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与直线OM勺斜-11率之积恒为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左焦点Fl且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于AB两点，线段AB的垂直平分
11、线与x轴交于点N,点N的横坐标的取值范围是错误！，求线段AB长的取值范围.解(1)由已知2a=2，2,2=错误！，设点P(x0,y0),Mt误！，直线PA与OM勺斜率之积恒为一错误！，错误！X错误！=错误！。.错误！+y错误！=1,；b=1。故椭圆C的方程为错误！+y=jx 错误 kNt误！，由已知条件得，错误！错误！0,.02k21, .| AB =错误！错误！=巾+k2 X错误！=错误！错误！，=1。(2)设直线l：y=k(x+1),联立直线与椭圆方程错误！得(2k2+1)x2+4k2x+2k22=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系可得错误！可得yI+y2=k(x+
12、x2+2)=错误！,故AB中点Q昔误！，kqn直线万程：y2pz=错误！错误！:错误！IEF,故Q点的轨迹T为以E,F为焦点，长轴长为4的椭圆，则a=2,c=1,所以b=错误！，所以点Q的轨迹T的方程为错误！+错误！=1.(2)证明：分别设直线AB和CD的中点为MN,当直线AB斜率不存在或为0时，分析可知直线MN与x轴重合，当直线AB的斜率为1时，止匕时Mt误！，N音误！，直线MN的方程为x=错误！，联立解得直线MNg过定点错误！。下面证明一般性：当直线AB的斜率存在且不为0,1时，设直线AB的方程为y=k(x1),则直线CD勺方程为y=错误！(x1),设A(Xi,y4,B(x2,y?),联立
13、错误！消去y得(4k2+3)x28k2x+4k212=0,皿8k2贝xI+X2=4k2+3,所以y+y2=一错误！，即M音误！，同理，Nt误！，于是直线MN勺斜率为kMN=错误！=错误！,故直线MN勺方程为y错误！=错误！错误！，显然x=错误！时，y=0,故直线经过定点错误!方法指导过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk得y=k(x+n)，故动直线过定点(m,0).(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量包成立，令其系数等于零，得出定点.对点精练(2019白银市靖远县高三联考)设椭圆C：错误！+错误！=1(ab0)的左、右焦点分别为Fi,F2,下顶点为A,。为坐标原点，点O到直线AF的距离为错误！，AF1F2为等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l与椭圆C交于MMN两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2,证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.解(1)由题意可知，直线AE的方程为
