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1、科学文化评论第1卷 第1期(2004):热力学与时间之始质疑彭若斯与霍金的奇性定理赵 峥作者简介： 赵铮，1943年生，北京师范大学物理学系教授。摘 要 文章介绍了广义相对论中的奇点困难，介绍了彭若斯与霍金给出的著名的奇性定理的证明。奇性定理认为时间一定有开始和终结。文章指出，类光测地线可以看作固有加速度为无穷大的类时线。奇性定理是在绝对零度或温度发散的情况下证明的，热力学第三定律可能是克服奇点困难的关键。文章还指出，热平衡的传递性等价于钟速同步的传递性。热力学第三定律将保证时间的无限性，而热力学第零定律将保证可以在大范围内统一地定义时间。关键词 广义相对论 奇性定理 热力学第三定律 时间 加
2、速度 热力学第零定律 钟速同步 时间有没有开始和结束？千百年来，许多伟大的思想家对此进行过深入的探索，但是有关的探讨都局限在哲学的分析和猜测上。从20世纪60年代开始，物理学开始介入了这一问题的研究。其标志是彭若斯（R. Penrose）和霍金（S. W. Hawking）提出的奇性定理（singularity theorems），该定理概括并超出了关于宇宙开端和终结的研究。奇性定理可粗略表述为：只要广义相对论成立，因果性良好，有物质存在，就至少有一个物理过程，其时间存在开始或存在结束，或既有开始又有结束Hawking & Ellis, 1973; Wald, 1984; 霍金、彭若斯，199
3、6；梁灿彬，2000；赵铮，1999 & 2001。这一数学定理在物理学和哲学上的重大意义是不言而喻的。遗憾的是，到目前为止，它还没有引起哲学界的注意，物理界对它的重视也远远不够。20世纪最重大的物理成就是相对论和量子论的诞生。经过近百年的努力，狭义相对论和量子论已被大量的实验事实所证实，其理论框架也基本建立了起来。然而，对于爱因斯坦本人最为重视的广义相对论，情况却不能令人满意。一方面，验证广义相对论的实验非常稀少，另一方面，它的理论结构还存在重要困难。理论上的困难主要有三个。一是引力场量子化的努力一直不成功，不仅把引力场与其它规范场统一起来的努力没能达到目的，而且连引力波也至今没有探测到。第
4、二个主要困难就是上面提到的奇性定理。时间一定有开始和结束的结论很难被人接受。第三个困难是相对论与热力学不协调，不仅广义相对论不协调，甚至狭义相对论也与热力学不协调Landsberg, 1978。物理界并非没有看到广义相对论存在问题，奇怪的是绝大多数物理学家只注意了第一个困难。尽管几十年来也没有取得重要进展，许多人还是把大量精力投入引力场量子化和统一场论的研究，却极少有人重视广义相对论的后两个困难。下面，作者将对奇性定理造成的困难作简要的介绍，并讨论其可能引发的重大科学与哲学进展。一 时间的开始与终结广义相对论中的奇点困难广义相对论诞生不久，人们就发现爱因斯坦方程的解（即满足广义相对论的时空）普
5、遍存在奇异性（奇点或奇环等）。奇异性有两类，一类是内禀奇异性，表现为时空曲率发散，而且这种发散与坐标系的选择无关。例如，球对称黑洞（史瓦西黑洞）的“中心”奇点，转动黑洞内部的奇环，大爆炸宇宙的初始奇点，大塌缩宇宙的大挤压终结奇点等，都属于这类奇异性。另一类是坐标奇异性。这种奇异性是由于坐标系选择不当而引起的，可以用坐标变换加以消除。只存在坐标奇异性的地方，时空曲率正常，并不出现发散。应该说明，坐标奇异性往往也有它的物理意义和几何意义。例如，各种黑洞的表面（事件视界，event horizon）都存在坐标奇异性，黑洞的许多重要性质都与这种奇异性的存在有关。不过，本文的目的不是讨论黑洞，对坐标奇异
6、性不感兴趣。下面，我们探讨的都是内禀奇异性。为了讨论方便，下面我们把出现内禀奇异性的地方（奇点、奇环等），统称为奇点。 奇点是物理理论无法了解的地方，它随时可能产生无法预测的信息。环形奇点的附近还会出现“闭合类时线”，沿这类曲线生活运动的人，会回到自己的过去。这简直令人不可思议。更为严重的是，彭若斯和霍金证明了 “奇性定理”。这个定理可粗略表述为：只要爱因斯坦的广义相对论正确，并且因果性成立，那么任何有物质的时空，都至少存在一个奇点。值得注意的是，彭若斯和霍金在提出并证明“奇性定理”的过程中，对“奇点”概念进行了重新认识，提出了极其重要的新思想: 奇点应该看作时间的开始或终结! 这就是说，他们
7、的奇性定理证明了时间一定有开始和终结。 彭若斯与霍金等人对于奇点的这一认识，来源于对宇宙和黑洞的研究。在大爆炸宇宙模型中，宇宙与时间一起诞生于时空曲率发散的初始奇点；对于其中的大塌缩结局，宇宙与时间又一起终结于时空曲率发散的大挤压奇点。另一方面，广义相对论告诉我们，黑洞内部的时空坐标要发生互换，原来的时间t 成为空间坐标，而径向坐标r 则成为时间坐标。所以黑洞内部的等r 面不再是球面，而成为了等时奇点 视界 图1 史瓦西黑洞面。对于黑洞，时间方向指向 r = 0 的奇点处。这样, 等r 面成为“单向膜”，任何进入黑洞的物质只能向r 减小的方向运动，不能停留，也不可能反向运动，而且没有任何力和任
8、何物质结构能够抗拒这种运动。这是因为，这不是一般的运动，而是一个时间发展的过程，什么力量都不能抵挡，不能不顺着时间方向前进。也就是说，任何物质都必须“与时俱进”。黑洞内部整个是单向膜区，黑洞的边界(视界)是单向膜区的起点。进入黑洞的飞船和任何其它物质都将在有限的时间内穿越单向膜区到达奇点。值得注意的是，由于时空坐标互换， r = 0 现在不是黑洞的“球心”, 而是时间的终点。这就是说, 进入黑洞的飞船和宇航员在经历有限时间之后，就到达了时间的终点。或者说，他们的时间将在有限的经历中结束。按照广义相对论，还可能存在白洞。白洞是黑洞的时间反演。它的内部也是单向膜区，只不过时间方向从奇点 r = 0
9、 处指向视界处，所以它的单向膜的单向性与黑洞相反。需要强调的是，白洞内部的r = 0 处，不是时间的终点，而是时间的起点。有奇点的时空，称为奇异时空。然而，如果有人把奇点从时空中挖掉，剩下的时空还能叫做奇异时空吗？彭若斯和霍金认为即使把奇点挖掉，时空的根本性质也不会有变化，仍然是奇异时空。然而，挖掉奇点之后，时空中就不存在曲率为无穷大的点了，因此，仅仅用“曲率无穷大”来定义奇点是有缺陷的。他们注意到，虽然人们可以把奇点从时空中挖掉，但挖掉之后总会留下空洞，那么时空中任何一条经过空洞的曲线都会在那里断掉。于是，彭若斯和霍金建议，干脆把奇点从时空中“去掉”，认为它们不属于时空。粗略地说，干脆把它们
10、看作时空中的“空洞”。但是任何一个正常点也都可以从时空中挖掉，形成空洞，时空中的曲线到达这样的空洞当然也会断掉。不过，这种空洞可以补上，而奇点处的空洞则由于曲率发散而补不上。图2. 左：奇异的时空 右：挖掉奇点的奇异时空于是，彭若斯和霍金这样去证明他们的“奇性定理”: 证明时空中至少存在一条具有如下性质的类光(光速)或类时(亚光速)曲线: 它在有限的长度内会断掉，而且断掉的地方不能用任何手段修补，以使这条曲线可以延伸过去。类空(超光速)曲线（space-like curves）不在他们的考虑范围之内，因为这样的曲线描述超光速运动，而自然界不存在超光速运动的粒子。类光曲线（null curves
11、）描述光子运动，类时曲线（time-like curves）描述低于光速的质点的运动， 例如电子运动、火箭运动以及我们人类可以进行的任何活动。总之, 光速或亚光速曲线描述自然界存在的一切实际过程。相对论研究表明，时空中的亚光速曲线的长度，恰恰是沿此线运动的质点(或火箭、或任何物体和人)所经历的时间（固有时间，proper time）。所以，按照彭若斯和霍金的观点，“奇点”就是时间过程断掉的地方。奇性定理的实质内容是: 在因果性成立、广义相对论正确、而且有物质存在的时空中，至少有一个可实现的物理过程，它在有限的时间之前开始，或在有限的时间之后终结。也就是说，至少有一个物理过程，它的时间有开始，或
12、有终结，或者既有开始又有终结。换句话说，至少有一个时间过程，它的一头或两头是有限的。总之，奇性定理告诉我们，时间是有限的，不是无穷无尽的。黑洞的内部，有一个时间的“终点”，即黑洞的奇点。白洞的内部，有一个时间的“起点”，即白洞的奇点。膨胀宇宙的时间有一个起点(大爆炸奇点)，脉动宇宙的时间，则不仅有一个起点(大爆炸奇点)，还有一个终点(大挤压奇点)。奇性定理的前提条件是无可非议的。奇性定理的证明过程，依据了现代微分几何和广义相对论的研究成果，经过了不少专家的反复推敲。看来，奇点困难无法摆脱。奇点一定存在，时间一定有限。奇性定理不仅确认了奇点不可避免，而且指出奇点困难反映了时间的有限性。二 奇性定
13、理概述 下面，我们先介绍一些基本概念，然后介绍证明奇性定理的思路Hawking & Ellis, 1973; Wald, 1984; 霍金、彭若斯，1996；梁灿彬，2000；赵铮，1999 & 2001 。1 测地线与仿射参量 由于一般的世界线不易找到合适的参量来表征“长度”，彭若斯和霍金在研究奇点时把注意力集中到测地线（geodesics）上。测地线是直线在弯曲时空中的推广，它是不受外力（万有引力不算外力）的自由质点和自由光子在弯曲时空中的运动轨迹。测地线有一种很好的参量可以反映长度，那就是仿射参量（affine parameter）。类时测地线（time-like geodesics，自
14、由质点的轨迹）的仿射参量可以看作固有时间（即沿此测地线运动的观测者亲身经历的时间）。类光测地线（null geodesics，自由光子的轨迹）的仿射参量虽然不能看作固有时间, 但仍能很好地描述光线的长度。如果有一根非类空测地线(即类时或类光的测地线)，在未来或过去方向上，在有限的仿射长度内断掉，不能再继续延伸，那么，这根测地线就被认为碰到了时空的“洞”。如果这个“洞”补不上(例如, 曲率发散处的“洞”就补不上)，那么它就是奇点。严格说来，“洞”不一定是一个点，可能是一个区域，而且此区域不属于时空，甚至可能不属于流形，个别情况还不属于拓扑空间。2 时空的因果结构 分别满足下述条件的时空，具有不同
15、的因果结构。它们满足的因果性一个比一个好。图3. 左：闭合类时线 右：闭合类光线. 编时条件(chronology condition)：不存在闭合类时线。即，一个人或一个质点不能随着时间前进，又转回自己的过去。. 因果条件(causality condition)：不存在闭合因果线。即，不仅没有闭合类时线，也没有闭合类光线。闭合类光线表示一条光线随着时间前进，会转回它的过去。. 强因果条件(strong causality condition)：不存在闭合因果线，也不存在无限逼近闭合的因果线。. 稳定因果条件(stable causality condition)：在微扰下也不出现闭合因果线。即，不存在闭合因果线，而且在对时空进行微扰的情况下，也不会导致原来不闭合的因果线闭合起来。. 整体双曲(globally hyperbolic)：时空存在柯西面。所谓柯西面是这样一张超曲面，时空中的任何一条因果线都必须与它相交，而且只交一次。整体双曲的时空是因果性最好的时空。整体双曲的时空一定稳定因果，稳定因果的时空一定强因果。强因果时空一定满足因果条件，因果条件一定推出编时条件。闵可夫斯基时空和史瓦西时空都是整体双曲的。Reissner-Nordstrom时空（即带电史瓦西时空）是稳定因果的。转动轴对称的Kerr时空和Kerr-Newman时空（带电Kerr时空）则因果性很差，连编时
