微积分复习及解题技巧[1]

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1、微积分复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：综合练习第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间 表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意 义的自变量x的取值范围（集合）主要根据： 分式函数：分母工0 偶次根式函数：被开方式0 对数函数式：真数式0 反正（余）弦函数式：自变量 1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成 不等式组解之。典型例题：综合练习第二大题之1补充：求y=.2 x的定义域。（答案：- 2乙） 1 2x2三、判断函数的奇偶性：典型例题：综合练习第一大题之3、4第二章极限与连续求极限主要根

2、据：1、常见的极限：1lim =（： 0）X2、利用连续函数:|m f （x） =f（X。）JXo初等函数在其定义域上都连续。例：呵X =13、求极限f（x）lxm而的思路:I0lim f（x）ho常数）xjotqo0lim g（x） = C2（C2 = 0常数） x门.r可考虑以下9种可能:0型不定式（用罗彼塔法则）0 =0C2-=0QO9=0QO C1 = OO0O0=OOC2C3O 、型不疋od式(用罗彼塔法则)特别注意：对于f (X)、g (x)都是多项式的分式求极限时，解法见 教材P70下总结的“规律”。以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！典型例题：综合练习第二大题之3、4;第三大

3、题之1、3、5、7、8补充2朋(X)=1，则 a= 2,b= 1x2 ax bx-1 2x补充补充3：、xX十1二 limx ：:11 - X -12” -1 1 1Inm V33汉 55 汉 712n 12(2n _ 1)(2n 1)U丄+丄一丄i335 2n -1 2n 11- 1补充4:limXr1In xlimXr 1汁1(此题用了“罗彼塔法则”第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题: 典型例题：综合练习第一大题之12二、求给定函数的导数或微分： 求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材 P123 2、求导的四则运算法则：教材 P110-111 3、复合函数求导法则（最

4、重要的求导依据） 4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y/ dx即可 典型例题：综合练习第四大题之1、2、7、91_ x 2arctgx1 x21 x21 x2补充：设 y= ； x21 （arctgx）2，求 dy.解： T y ” =12x + 2arctgx2 山+x2,x i 2arctgx dy=y dL,!/第四章 中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题： 典型例题：综合练习第一大题之 16、19 二、利用导数的几何意义， 求曲线的切、法线方程 ：典型例题：综合练习第二大题之 5二、函数的单调性（增减性）及极值问

5、题： 典型例题：综合练习第一大题之 18，第二大题之 6，第六大题之 2第五章不定积分第六章 定积分I理论内容复习：1、原函数:F(X)二 f (x)则称F (X)为f (X)的一个原函数。2、不定积分：概念：f (X)的所有的原函数称f ( X)的不定积分。f (x)dx = F (x) C注意以下几个基本事实：f(x)dx = f (x)f (x)dx = f (x) Cd f(x)dx 二 f(x)dxdf(x)二 f (x) C性质： a f (x)dx =a f (x)dx(注意 a 0)f (x)二 g(x) dx 二 f(x)dx 二 g(x)dx基本的积分公式：教材P2063、

6、定积分：定义几何意义性质：教材 P234 235性质1 3求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式H习题复习：一、关于积分的概念题：典型例题：综合练习第一大题之22、24、25、第二大题之11、14、求不定积分或定积分:可供选用的方法有直接积分法：直接使用积分基本公式换兀积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法分部积分法典型例题：综合练习第五大题之2、3、5、6dx关于“换元积分法”的补充题一:In 2x + 1 + C11 d(2x + 1) = 12x 12 2x 12关于“换元积分法”的补充题二:xdx解：设 x 3=t2, 即卩一X-3二t,则 dx=2tdt.xdx(t23) 2t

7、1 2 1 t21 6t C=-t3 6t C = 2( . x - 3)36 一 x - 3 C33关于“换元积分法”的补充题三:解：设x=t3, 即 3 X = t , 则 dx=3t2dt 当 x=0 时，t=0；当 x=8 时，t=2.所以8 dx2 3t2dtS + VX =、0 乔r+ In1 + tf|3(t-1) +dt=3p(t-1)2o ，1 t_2=3ln3（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量 x换成变量t后，其上、下限也从0、8变为0、2） 关于“分部积分法”的补充题一:xeXdx = xdeX 二 xeX - eXdx = (x - 1)ex

8、C关于“分部积分法”的补充题二:1 1Jarctgxdx = xarctgx _ Jx 十 2 dx = arctgx -?ln 1 + x关于“分部积分法”的补充题三:e匚咕丄21丿2 2-(e21)24xln xdx11e2f In xdx21/x2 In xee 2-x2dlnx_ 1x2 In xeexdx_ 1/2e -1 2-xe221-21)-221（此题为定积分的分部积分法）三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：典型例题：综合练习第六大题之4注意：此题若加多一条直线 y=3x，即求三线所围平面图形的面积,则解法为一一（草图略）S= 0(3x x)dx 亠 | (3x x

9、2)dx二 2xdx 亠 i (3x x2)dx=23 2x2=191 27_ 23丿23丿=；（平方单位） 使用指南本 复习参考资料 应当与人手一册的综合练习题 配套使用并服从于 综合练习题 。另外， 请注意如下几点：本 复习参考资料 中的蓝色字体的“补 充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年 9 月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。 综合练习题是我们复习重点中的重点 ，请 对照答案将 所有 题目完整地做一遍（使题目与 答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查 找的速度和准确度） 。 请将上述做好的 综合练习题 随身携带，经 常复习、记忆，为应试作好准备； 考试时请 注意审题 ，碰到实在不会做的大题， 如果你发现只是 综合练习题 上的题目改变 了数字，那么请将你能够知道的、原来那个题 目的解法步骤完整地写出来，也能获得该题一 部分的分数。对于填空、选择这样的小题，尽 你所能去做，不要留下空白！