《&amp#167;13怎样计算磁感应强度》由会员分享，可在线阅读，更多相关《&amp#167;13怎样计算磁感应强度（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13 怎样计算磁感应强度在稳恒磁场中的磁感应强度，可用毕奥-沙伐尔定律和安培环路定律来求解。毕奥-沙伐尔定律在成块中的地位，好像静电场中的库仑定律一样，是很重要的。它是计 算磁感应强度最普遍、最基本的方法。安培环路定律，是毕奥-沙伐尔定律的基础上加上载 流导线无限长等条件而推导出来的。困此，用安培环路定律遇到较大的限制。但是，有一些 场合，应用安培环路定律往往给我们带来不少方便。一、用毕奥-沙伐尔定律计算r r r真空中有一电流元Idl，在与它相距r处的地方所产生的磁感应强度dB，由毕奥-沙伐 尔定律决定。rr(1)dB 4业4兀r 3rr rrr式中，r是由电流元Idl指向求B点的距离矢量。
2、式(1)是矢量的矢积，故dB垂直于dlr 与r组成的平面，而且服从右手螺旋法则。真空的磁导率卩二4兀x 10-7H /m。0rrB是一个可叠加的物理量，因此，对于一段(弯曲的或直的)载流导线L所产生的B磁感应强度为：1、 基本题例idl x rr 3(2)在磁场的计算中，许多习题是载流直导线和圆弧导线不同组合而成的。因此，必须熟练掌握一段载流的长直导线和一段载流的圆弧导线的磁场的计算公式。图2-13-1所示为一段长直载流导线，它的磁感应强度的计算公式为:B = (cos0 - cos0 )4兀a1或:B =1 (cos P - cos P )4 兀 a21当载流直导线“无限长”时, 卩I 半无
3、限长时，B=孟运用时，应注意a是求B点到载流导线的垂直距离；辨认e与B的正负，请辨认图2-13-2 产生的磁感应强度分别为2x 2or和2Rr ，它们的和被2除， 即得与解法一相同的结果。中的0,3的正负。方向由右手螺旋法则决定。B心o 2 RB心o 4 R2、组合题例例1已知如图2-13-3所示，求P点的磁感应强度。解法一由图可见,此载流导线由两根半无限长载流导线和一个半圆弧组成。两根半无限长的载流导线在p点产生的磁感应强度为:B = 2 x1 - pi 2 2k R载流半圆弧在P点产生的磁感应强度为发:故总的磁感应强度：B = B + B o（2 + k ） ppip 2 4k R解法二图
4、示载流导线也可以看成两根无限长载流导线和一个载流圆环组成（如图2-13-3）。将所得结果除以2,即为题设答案。两根无限长载流导线和一个载流圆环在P点所例2赫姆霍兹线圈由两个细的平面线圈组成（图 2-13-4）。设半径为a,其中心间的距离为OO = 2。试求0 点的磁感应强度与001中点的磁感应强度，并将两者的结果加 以比较。分析0点的磁感应强度B0是由两个线圈共同产生的， 因此,可用叠加原理方便地求得。总的磁感应强度为：U ia 21 1B =B +BI +0122 a 3、a 2a 2 + 4丿U ia2= 2a 3=0.858 打a闵 2-13-4解设两个线圈中的电流都是i，则在0点产生的
5、磁感应强度为:同理可得00中点的磁感应强度:2 吧2= 0.913 即厂、3a2 a 2 + I 16丿两者的相对差值为：B - B 0.913 - 0.858“5 = mO = 6%B0.913m可见，环心OO中点磁感应强度的大小是差不多的。在磁感应强度的计算中，长直载流导线与载流圆弧组合而成的习题不少，如图2T3-5所示。将各图示情况中的0点之磁感应强度求出后，对于长直载流导线与载流圆弧在O点产生的磁感应强度公式就能熟练地掌握，对叠加原理就能领会更深，对于合磁场方向的判断能力也会大大地提高。例3载流I的方线圈，边长为2a。求其轴线上的磁感应强度的分布（图2-13-6）r分析当求B点P与载流
6、导线平面或线圈不是共面时，为了容易建立空间概念，能较顺利地求解，必须按照题设条件仔细地作好图。进而容易看出这个空间是由四个平面简单组r成的。例如，长直载流导线AB与P共面，因而很容易用长直载流导线外一点B的计算，求rr得在P点的磁感应强度B ，又因为AB与CD关于Z轴对称，因而不需要计算出B 。由于ABCDr rrBC、DA载流在P点所产生的B 、B ，在数值上与B相等，而方向只要用右手法就BC DAABr很快可以确定。于是其实主要是如何求B的问题了。AB解首先计算载流导线AB在轴线上产生的磁感应强度分布。对P点而言，有：BAB0(cos P-cos式中二72 + z2, Pi = AE,叮P
7、BF。在APAB中，由于PA=PB，故为等腰三角形, 由此可得：cos P - cos P = 2cos P1 2 1AE aacos P =1 APa 2 + r 22a 2 + z 2将仃、cos p i代入Ba表达式，得:BABpI02a2a 2 + z 2rB 的方向和PE、AB组成的平面相垂直（如图2-13-6），它在z轴上的分量为:AB这个结果正确吗？让我们以特例来检查一下：当u I 2a a u v21-z =0时，二(B ) = 0= 0。显然这是正确的，可见上述如此冗长的AB z 4兀 a aj2 a4兀 a表达式是正确的。r方形线圈四条载流I的直线在P点产生的B，两两互相对
8、称，故只剩下Z轴方向分量是 互相加强的，而且是相等的。因此载流方线圈在轴上的磁感应强度沿 OZ 方向， 其大小为：B = 4 (B )亠止AB z 4兀 a2 + z22a2 + z2B = 4(B ) =uJ2L0AB 0兀au 8Ia 2u 2 P讨论当z ? a时，B =夕,令P = 4la2,则B =夕 m,这表明在远场的情况4 兀 z 3m4 兀 z 3下，载流线圈的几何形状形状已无关紧要。不管线圈是什么形状，只要Pm相同，B的表达式 都 是相同的。3、关于积分变量的统一问题 应用毕奥-沙伐尔定律解题时，象长直带电细线的电场强度计算一样，常常会遇到积分 号中包含几个相关变量问题。这时
9、必须将相关变量由统一变量表示，方能进行积分。积分变量 的统一原则，也是可以任意选择的，不管是否在积分号里面，只要能统一就行。 当然具体决择时，看方便而定。现以长载流导线在 P 点产生的磁感应强度计算为例，来说明怎样统一积分变量，见图 2-13-7。长直载流导线上各点流元在P点产生的磁感应强度:B = j 耳 Idz sin 04兀r 2CD(1)积分号中z、e、r三个都是变量。如选e做自变量，则:a = r sin G -0)= r sin0ar =sin 0Z = r cos G -0)= -r cos0 =-cos 0 = -a cot0dz =d0sin2 0将这些关系式代入式(1),并
10、注意积分限为ee2，则：B = j02 启sin0d0 =(cos0 -cos0 ) 0 4兀a4兀a1如把 z 选作积分变量,其情况又如何呢？(2)由图可知：sin 0 =得：将这两个关系式代入式(1),从乙1积分到Z2，B = j & 邛 L z1 4 兀幅 2 + z 2adz+ z2z2dzZ1 C 2 + z 2 )2其实，容易从图2-10-5中得知：Z = sin pZ2=sin pB =(sin P - sin P )4 兀 a21当然也可以把 r 作为自变量，情况与上述相似。必须指出，不但可以把积分号包含的变量选作自变量，而且也可以选择与r、e、z这三 个量都有关的其它量，如B
11、作为自变量，有时这样作还受到人们的欢迎。把B作为自变量时，由图可知：sin 0 二 cos p r 二 a sec pz 二 a tan pdz 二 a sec2 p d pp 卩 la sec2 p cos p d p B = J f _opa2 sec2 p= Jp2 cos p d p4兀a p=(sin p - sin p )4 兀 a 21总之，只要能将积分号里包含的几个变量统一，可以任意选择一个为自变量，而不管这个变量是否包含在积分号中。当然，究竟选择哪一个？要根据具体情况而定。二、利用安培环路定律真空中的安培环路定律为：隠-dl =r工l0iLr它表明：B的环流是由闭合环路（俗称
12、安培环路）L中包围的电流的代数和决定的。因此,r它并不表明乙l与环路上各点B的直接关系。但是，这并不妨碍安培环路定律在某些情况ir下可以用来求环路上某点的磁感应强度B。已知电流的分布工l，要用安培环路定律来求B，必须要求工l所产生的磁场具有一iir r r定的性质一-作为待求的未知量B应能从- dl的积分号中提出来。Lr因此，利用安培环路定律来求B，关键在于“怎样合理选取安培环路？”例如，载流环形螺线管的磁感应线形成一个个的同心圆，在每一圆形磁感应线上，B的 大小处处相等，其方向处处与圆形相切。如要求管内离开圆心为r的点之磁感应强度B,则 可选择以 r 为半径的同心圆为安培环路。此时，根据安培
13、环路定律得：- d = B 2 免 r根据安培环路定律有：2兀rB二卩NI0令式中 I-螺线管中的电流N螺线管的匝数。从这个例子，很容易提出一个问题：安培环路上B的大小各点B的大小都要相等，才能r利用安培环路定律来求B呢？不是的。例如长直密绕螺线管里中部的B（图2-13-8）。我们选取abcda为安培环路。在ab段。各 r 点的B沿着ab，且大小相同，be、da两段，在管内部分，B不等于零，但都与be或da相 r r垂直，因此Bdl也都等于零，即对B的环流没有贡献，至于管外部分，与ed段上的各点B 一样都为零。为什么等于零？我们可以通过Cd段上任意一点来观察，从该点分别产生方向相反而大小相同的
14、磁场，因而它的合磁场为零。圈 2-13-0根据安培环路定律有：r r r rJ Bdl = J Bdl =J Bdl =B J dl =BabababB -ab = p 0abn 丿I:.B = p nl0式中 I-螺线管中的电流n-单位长度上线圈的匝数。可见，要能用安培环路定律来求B，要选择安培环路，必须使所求的B能从积分号中提出来。让我们再看一例。“无限多”根“无限长”平行排列的导线组成电流片。当导线中各载电流I时，求该电r流片旁某点P的B （图2-13-9）。r由于电流片在图中具有横向对称性，与电流垂直的方向上B的分量为零，所以在与电流r片平行的方向上，B的方向如图所示。现取abcda为安培环路。在bc、da上，各点B丰0，r但与 dl 垂直，故：rrBdl = JrrBdl = 0bcad而在ab、rrcd 上, B都处处相等，其方向均与dl平行，故:rrBdl =Jr rBdl
