《华罗庚学校数学教材(五年级上)第02讲质数、合数和分解质因数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华罗庚学校数学教材(五年级上)第02讲质数、合数和分解质因数（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本系列共15讲第二讲 质数、合数和分解质因数文档贡献者：与你的缘一. 基本概念和知识1. 质数和合数一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也 叫做素数）。一个数除了 1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。2. 质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。二. 例题例1:三个连续自然数的乘积是210,求这三个数。 210=2X 3X 5X7可知这三个数是 5、6、7。例2:两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多 少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=1723=1129=337
2、仃 X 23=391 11 X 29=319 3X 37=111,所求的最大值是391。例 3：自然数 123456789 是质数，还是合数？为什么？解： 123456789 是合数。因为它除了约数 1 和它本身，至少还有约数 3，所以它是一个 合数。例 4：连续 9 个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在 1 与 20 之间，那么显然其中最 多有 4个质数（如： 19 中有 4 个质数 2、3、5、7）。如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5 个。这 5个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数
3、，即这个奇数是 合数。这样，至多另 4 个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有4 个质数。例 5：把 5、6、7、14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘 积相等。解：5=5, 7=7, 6=2X 3, 14=2X 7, 15=3X 5。这些数中质因数 2、3、5、7各共有 2 个，所以如把 14（=2X7)放在第一组，那么7和6 (=2X 3)只能放在第二组，继而15 (=3X 5)只能放在第一组，则5必须放在第二组。这样， 14X 15=210=5X 6X 7。这五个数可以分为 14和15, 5、6和7两组。例 6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数
4、的乘积是42560。求这三个自然数。分析 先大概估计一下， 30X 30X 30=27000， 远小于 42560， 40 X 40X 40=64000， 远大于 42560。因此， 要求的三个自然数在 3040 之间。解：42560=2 6X 5X 7X 19=25X( 5X 7)X( 19X 2) =32X 35X 38(合题意)要求的三个自然数分别是32、35和38。例 7：有三个自然数 a、b、c,已知 aX b=6, bX c=15, aX c=10。 求 aX bXc 是多少？解：6=2X 3, 15=3X 5, 10=2X 5。 (a X b) X (b X c) X (a X
5、c)=(2X3)X(3X5)X(2X5)a2Xb2Xc2=22X32X52(a x bx c) 2=(2 x 3X 5) 2ax bx c=2X 3X 5=30在例 7 中有 a2=22,b 2=32,c 2=52，其中 22=4，32=9，52=25，像 4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的 数叫做完全平方数或叫做平方数。如 口：1 2=1,2 2=4,3 2=9,4 2=16,，11 2=121, 122=144,其中1, 4, 9, 16,，121, 144,都叫做完全平方数。下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质 因数的指数有什么特征。例：
6、把下列各完全平方数分解质因数。9, 36, 144, 1600, 275625。解： 9=3236=22x 32144=32x 241600=26x 52275625=32x54x72可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶 数。反之,如果把一个自然数分解质因数之后 ,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中, 36=6 2, 144=122, 1600=402, 275625=5252。例 8：一个整数 a 与 1080 的乘积是一个完全平方数,求最小值与这个完全平方数分析 a与1080的乘积是一个完全平方数。乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数
7、。解：1080X a=2 3X 3 3x 5X a,又 1080=23X 3 3X 5的质因数分解中各质因数的指数都是奇 数。 a必含质因数 2、3、5,因此，a 最小为2X 3X 5。 1080X a=1080X 2X 3X 5=1080X 30=3240d答: a的最小值为30,这个完全平方数是 32400。例 9： 360 共有多少个约数？分析 360=23X3 2X5为了求360有多少个约数，我们先来看32X5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以 1、 2、 22、 23,即得到 23X3 2X5(=360)的所有约数。为了求 32X5有多少个约数，可以先求出 5 有多少个约数,
8、然后再把这些约数分别乘以1、 3、3 2,即得到 32X5的所有约数。解：记5的约数个数为 Yi ,32X5的约数个数为丫2。360 (=23 X32X 5)的约数个数为 丫3。由上面的分析可知：Y3=4XY2,Y2=3XY i,显然Yi=2 （5只有1和5两个约数）。因此 Y3=4XY2=4X 3XY i=4X 3X2=24。所以， 360 共有 24 个约数。Y3=4XY 2中的“ 4 ”即为“ 1、2、22、23”中数的个数，也就 是其中2的最大指数加1,也就是360=23X 3 2X 5中质因数2的个 数加 1；Y 2=3XY 1 中的“ 3”即为“ 1、3、3 2”中数的个数，也就是
9、 23 X 3 2 X 5中质因数3的个数加1;而Yi=2中的“2”即为“1、5” 中数的个数，即23 X 3 2 X 5中质因数5的个数加1。因此Y3=（31）X（ 21）X（ 11） =24。对于任何一个合数,用类似于23X32X 5（=360）的约数个数的讨论方式, 我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要 结论：一个合数的约数个数, 等于它的质因数分解式中每个质因数的 个数（即指数）加 1 的连乘积。例 10：求 240 的约数的个数。解：240=24X 31X 5 1, 240的约数的个数是：（ 41 ）X（ 1 1 ）X（ 1 1 ） =20 个, 240有20个约数。请你列举一下 240 的所有约数，再数一数，看一看是否是 20 个？习题二1 边长为自然数，面积为 105 的形状不同的长方形共有多少 种？211112222 个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多 1 个。这个长方阵每一横行有多少个棋子？3 五个相邻自然数的乘积是 55440，求这五个自然数。4 自然数 a 乘 338，恰好是自然数 b 的平方。求 a 的最小值以 及自然数 b。5 求 10500 的约数共有多少个？
