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1、1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换V=Jbx C2Q设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换= Z的作用下，点P(x,y)对应到点花就.J的，称羿为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换，简称伸缩变换.2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系 e)如图所示L 一,在平面内取一个定点，叫做极点，自极点*引一条射线位,叫做极轴；再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直 的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系， 而极坐标系则不可.但极坐
2、标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标设M是平面内一点,极点*与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为宜；以极 轴&为始边，射线过为终边的角匕9侦叫做点M的极角，记为.有序数对 顷冏叫做点M的极坐标，记作”0,成为一般地，不作特殊说明时,我们认为*可取任意实数.特别地，当点膈在极点时，它的极坐标为(0,)(WR).和直角坐标不同， 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定斜蟀5软就添,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 功,刃表示;同时,极坐标七幻表示的点也是唯一确定的.3. 极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在 两种
3、坐标系中取相同的长度单位，如图所示：Vi izy0N 1(2)互化公式:设r是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是慎，,预，极坐标 是必七磴(抄爵航)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(XM极坐标On切互化公式fx= pcos&= psin fftan. 0 = (x 0)在一般情况下，由词成确定角时，可根据点角峪所在的象限最小正角.4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆p=r(0&2jr)注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即伽:冏，加* :顷,0；感侦 妈 矿顷,都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标
4、的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程卢二&点-丁亍可以表(-3- + 2jOW-=-2jOC-?)示为等多种形式，其中，只有44.的极坐标满足方程P”二、参数方程1. 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标壬，丫都是某个变x=/CO-数*的函数，并且对于*的每一个允许值，由方程组所确定的点 糊%3都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数R，T 的变数,叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系 的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同
5、形式，一般地可以通过消 去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数戛*中的一个与参数的关系，例如工=/(时，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系，二成，那么就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中,必须使*次的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解 轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的 参数方程的形式也不同。3. 圆的参数 如图所示，设圆的半径为:，点M从初始位置淫出发，按逆时针方向在做参麴圆。上作匀速圆周运动，设&化力，则仲=皿。这就是圆心在原点*，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义
6、是转过的角度。圆心为血，嬲，半径为,的圆的普通方程是同七块；伊/产:十硬参麴它的参数方程为：皿9。4. 椭圆的参数方程以坐标原点*为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为弭其参数方程为；二：萨参麴其中参数嘴为离心V3 /角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是。古其参数方程为厂5宓gW曲阀伊其中参数司仍为离心角，通常规定参数关的范围为眨e 0,注：椭圆的参数方程中，参数$的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把 它和这一点的旋转角,区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相 等外（即在*：到F的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但JIJCQa当 匕时，相应地也有，在其他象限内类似。5.
7、 双曲线的参数方程以坐标原点*为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为航其参数方程为二:g 一其中V3亍焦点在轴上的双曲线的标准方程是口力其参数方程为A&crt”（参规其中NQ祠迥以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线,茂芯倾*切的参数方程为7.直线的参数方程经过点-皿，倾斜角为-的直线3的普通方程是，版g冲妇而过繇点.电网，倾斜角为”的直线3,的参数方程为X = Jj+fC（K（Z为参教）注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点趴片电相，倾斜角为,的直JT 二与 4古 cos a线M勺参数方程为二卅为参教），其中表示直线（上以定点独。为起点，任点为终点的有向线段膨，缺的数量，当点在淫上方时,0；当点r在*下方时，L V0；当点曲与提重合时，,二0。我们也可以把参 数、理解为以麒I，为原点，直线，向上的方向为正方向的数轴上的点膈的坐标, 其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
