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1、河北省武邑中学2017届高三下学期第一次质检考试数学（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D2若复数（其中，为虚数单位）的实部与虚部相等，则（ ）A3 B6 C9 D123在等差数列中，若，则的值是（ ）A-5 B C D 4已知双曲线的一条渐近线为，则它的离心率为（ ）A B C D5将6名留学归国人员分配到甲、乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为（ ）A120 B150 C 55 D356若不等式成立的必要条件是，则实数的
2、取值范围是（ ）A B C D7在区间内随机取两个实数，则满足的概率为（ ）A B C D8如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（ ）A B C D9如图，分别是函数的一段图象与两条直线，的两个交点，记，则图象大致是（ ）A B C D10已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是（ ）A20 B-20 C540 D-54011如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的轴长的取值范围是（ ）A B C D12设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ）A B C D第卷（共90
3、分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为 14在正方体中，点在线段上运动，则异面直线与所成的角的取值范围是 15对于（为公比）的无穷等比数列（即项数是无穷项），我们定义（其中是数列的前项的和）为它的各项的和，记为，即，则循环小数的分数形式是 16对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道给出下列函数：；其中在区间上通道宽度可以为1的函数有 （写出所有正确的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 在中，已知，且（1）求角的大小和边的长
4、；（2）若点在内运动（包括边界），且点到三边的距离之和为，设点到的距离分别为，试用表示，并求的取值范围 18 某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该
5、社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望19 如图，在四棱锥中，平面平面（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成的角的正弦值为求二面角的余弦值20 已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于两点，且点的坐标为，点是椭圆上的任意一点，点满足，（1）求椭圆的方程；（2）求点的轨迹方程；（3）当三点不共线时，求面积的最大值21 已知函数（1）当时，求的极值；（2）若，存在两个极值点，试比较与的大小；（3）求证：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是圆内接四边形，
6、的延长线交于点，且，（1）求证：；（2）当，时，求的长23选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设是曲线上的点，是曲线上的点，求的最小值24选修4-5不等式选讲已知是常数，对任意实数，不等式都成立（1）求的值；（2）设，求证：数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CABAD 6-10:ADCCD 11、12：BA二、填空题13 14 15 16 三、解答题17解：（1）因为，所以，即解得：或；又因为，所以；由余弦定理得：（2）设点到边的距离为，则有：；注意到：，所以是直角三角
7、形；从而；所以，即；所以；又由于满足条件：；（线性规划问题）所以的取值范围是18解：（1）众数：86；中位数：875（2）设表示所取3人中有个人是：“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则恰有0人是“极幸福”的概率为；则恰有1人是“极幸福”的概率为（3），的可能取值为0,1,2,3，所以的分布列为：另解：19解：（1）平面平面，平面平面，平面又，故可建立空间直角坐标系如图所示，不妨设，则有，平面，又平面，平面平面（2）由（1），平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，解得，即设平面的一个法向量为，由，不妨令，则，显然二面角的平面角是锐角，二面角的余弦值为20解：（1）双曲线的顶点为，
8、椭圆两焦点分别为，设椭圆方程为，椭圆过点，得椭圆的方程为（2）设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，由，得，即 同理，由，得 得 由于点在椭圆上，则，得，代入式得当时，有，当，则点或，此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程，点的轨迹方程为（3）点到直线的距离为的面积为而（当且仅当时等号成立），当且仅当时，等号成立由解得或的面积最大值为，此时，点的坐标为或21解：（1），定义域，递减，递增故，没有极大值（2），由，设，当时，设当时，在上递减，即恒成立（3）当时，恒成立，即恒成立，设，即，22解：（1）证明：因为四边形为圆内接四边形，所以，又，所以，则而，所以又，从而（2）由条件得，设，根据割线定理得，即，所以，解得，即23解：（1）证明：，即，化简得曲线的直角坐标方程为（2）曲线的直角坐标方程为曲线是直线是曲线的点，是曲线上的点，的最小值等于到直线的距离的最小值设，到直线的距离为则的最小值为24解：（1）设，则的最大值为3对任意实数，都成立，即设的最小值为3对任意实数，都成立，即，（2）证明：由（1）得，又，
