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1、第二十八讲一数列概念及等差数列一. 课标要求：1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的 表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 体会等差数列与一次函数的关系。二. 命题走向数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个 解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、 前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较
2、高。预测2010年高考：1. 题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活 中的实际问题的解答题；2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还 可能涉及部分考察证明的推理题。三. 要点精讲1数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第 2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ；数列的一般形式：a1, a2, a3,an ,，简记作 ！an?。(2) 通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一
3、个公式表示，那 么这个公式就叫这个数列的通项公式。1例如，数列的通项公式是an= n ( n兰7, n N+)，数列的通项公式是an = n (n N .)。说明： n 表示数列，an表示数列中的第n项，an = f n表示数列的通项公式；_1 n = 2k _1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an = (-1)n=一(匕Z)；+1, n =2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1, 1.4, 1.41, 1.414,(3) 数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上
4、是定义域为正整数集N .(或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1), f(2), f(3), , f(n),通常用an来代替f n，其图象是一群孤立点。(4) 数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。(5) 递推公式定义：如果已知数列faj的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一 项anJ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。2. 等差数列(1) 等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的
5、前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用an - an=d(n 一2)或a. 1 -可=d(n 一1)。F (n -1)d ；A P数列)的单调性：d 0为递增数列,字母d表示。用递推公式表示为(2) 等差数列的通项公式：an 说明：等差数列(通常可称为常数列，d : 0为递减数列。(3) 等差中项的概念：定义：如果a , A , b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中 a , A, b成等差数列二A二U。2(4)等差数列的前n和的求和公式： Snn(4 a.)2四典例解析题型1 ：数列概念例1 根据数列前4项，写出它的通项公式:
6、(1)(2)(3)1, 3, 5, 7,22 -1211*232 -1312*342 -1413*452 -1 .；514*5 解析:(1) an =2 n1 ；2an=3(3) an=上泄n(n 1)点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系, 这对考生的归纳推理能力有较高的要求。n2 n T例2 .数列gn 中，已知an二(n N )，门)写出a10，an 1，a；2(2) 79是否是数列中的项？若是，是第几项?解析：(1)v %n (n N )九二心110932(n +1)+(n +1)1an 1 =322 n n 1(2)令 79 3 332 2 2n2
7、3n 1n n -1，an2解方程得n =15,或n - -16 ,n4 n$ 1;2 n .二Nn =15,即79 为该数列的第15项。3点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。题型2 :数列的递推公式例3.如图，一粒子在区域：(x, y) | x _ 0, y _ 0上 运动，在第一秒内它从原点运动到点耳(0,1),接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。(1) 设粒子从原点到达点代、Bn、Cn时，所经 过的时间分别为an、bn、Cn ,试写出an、bn、c n的通相公式；(2) 求粒子从原点运动到点P(16,44)时所需的 时间；(3) 粒
8、子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标 。解析：(1)由图形可设 入(1,0),人2(2,0), IH,代(n,0)，当粒子从原点到达A时，明显有a1 = 3,a3 =印 123 4,a5 =a320 =a3 5 4,a2nN=a2nq (2n 一1) 4,a2n = a2n A h二 a2m “1 43 5 川(2n -1) = 4n -1 ,2a2n = a2n1 =4n。2b2na2nj -2(2 门-1)=4门-4n 1, b2n =a2n 2 2n =4n2 4n。2 2C2nx-b2n(2nT)=4n -2n =(2n -1)(2n-1),C2n 二a2n 2n = 4
9、n2 2n = (2n)2 (2n),即 cn 二 n2 n。(2)有图形知，粒子从原点运动到点 P(16,44)时所需的时间是到达点 C44所经过得时间C44 再加(44- 16)= 28 秒，所以 t =4424 4 28 =2008 秒。+（8017（3）由 Cn =n2 n 2004，解得 1 空 n _二 ，取最大得 n=44,2经计算，得C44 = 19804 时，f (n) = (用 n 表示)。1答案：5, - (n 1)(n -2)图B2解析：由图B可得f (4) =5 ,由 f( 3)=2 ,f(4) =5 ,f(5) =9,f(6) =14 ,可推得 n每增加1，则交点增
10、加（n -1）个,(2 n _1)(n _2)1 f(n) =23 4 (n -1)(n 1)(n -2)。2 2点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。例6. (2003京春理14,文15)在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白()内。年机岁303540455055606S收堀压朮辗柱巒米11011S120必13013S()14S补张压水祖桂707375788083(.)B8答案：14085解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫
11、米、2毫米，照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140; 85.点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的 能力它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实 施为数学思维活动。题型4 :等差数列的概念 例7. (2001天津理，2)设Sn是数列的前n项和，且Sn=n2,则&是()A.等比数列，但不是等差数列C.等差数列，而且也是等比数列 答案：B ；B.等差数列，但不是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列(n=1)K(n-2) 解法一 : an= 1”1(n=1)an = n、2n-1 (n 2)- an=2n 1 (n N)又a
12、n+1 an=2为常数，一=工常数an2n-1- an是等差数列，但不是等比数列解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式 an=Sn Sn-1的推理能力但不要忽略 內，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。例 8 . ( 2006 年江苏卷)设数列an、bn、cn满足：bn=an-an.2,S -a. +2an出+3%七(n=1,2,3,，证明：a.为等差数列的充分必要条件是g为等差数列且bn兰bn十(n=1,2,3,证明：1必要性：设数列an是公差为d1的等差数列，则：bn 1 一5 = (an 1 一 an 3)一(an 一 an 2 ) = (an 1 一 an ) 一(an 3 一 an 2)= d1-d1=0 ,二 bn bn1 (n =1,2,3,成立；又 cn t Cn =(an .1 - an ) * 2(an 2 an 1 )
