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1、http:/ 本文档由华涛教学资料室为您倾心整理，欢迎下载！解竞赛题的钥匙一 算谜问题凑凑、估估、揭谜底算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏，它不仅加深对小学数学基本知识的理解，对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。 1958年开始，心理学家以算谜为例子，研究人类解决问题的思维过程。由于算谜问题构思精巧，变化多端，并且具有不同的难度层次，所以经常被智力竞赛和数学竞赛所选用。算谜问题，一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完整的算式就像“谜”一样，要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、判断把算谜“猜”出来，使不完整的算式补充完整。我们通过一些例子来讲述解答算谜问题
2、的思考方法和技巧。例1 9137=1001425= 把+、-、分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可以使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（1986年第一届“华罗庚金杯赛”决赛试题）解法：先考虑第一个等式，等式右边是100比9、13、7大得多，所以等式的圆圈里首先应考虑“+”或“”，但913=117比100大，所以得9137=100。第二个等式中，题意要求在长方形中填整数，而且只剩下减号和除号，所以得142-5=2。即长方形中的数是2。例2 在15个8之间添上+、-、，使得下面的算式成立：8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1986（北京市第
3、二届小学生“迎春杯”数学决赛题）分析：这个式子数字很大，我们先凑出与1986较接近的数，如： 88888888=1999。这个数比1986大13，这样原问题就转化为：能否用剩下的七个8经适当的四则运算得出一个等于13的算式呢？还是用上面的想法： 11与13较接近，而888=11这样一来问题就转化为能否用剩下的四个8写出一个等于2的算式。而这是不难办到的。如： 88882解法： 88888888-888-88-88=1986用上面类似的方法你能找到另外的解答吗？以上二例是填写运算符号，例1是根据运算结果进行逆推，是解答算谜问题的常用方法。例2用逆推的方法比较麻烦，因此，我们先经过估算，凑出一个与
4、结果较接近的数，然后凑凑、算算，使算式成立。下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。例3 将0，1，2，3，4，5，6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几？= （1986年第一届“华罗庚金杯赛”复赛试题）解法：要求用七个数字组成五个数，根据算式，应当三个数是一位数，两个二位数，二位数应是积和被除数。O和1不宜做一位数，一位数如果是2，则会出现2612 （2重复出现）， 25=10 （经试验不行）， 248（7个数中没有8）， 23=6 （6不能成为商），因此，2也不能做一位数。0、1和2只能用来组成二位数，它可以组成12和21
5、，经验算，21不能填在方框内，于是得到34=12=605。即填在方框内的数是12。例4 下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的总和是多少？（1991年第三届“华罗庚金杯赛”初赛试题）分析：解决这样的问题，我们需要认真审题，抓住式中的某些特点，寻找突破口。这个题目的突破口在百位上，由于十位至多向百位进1，且百位上两个内数字之和加上十位向百位的进位等于19，可以推出百位上两个内数字均填9，且十位向百位进1；同理，由于十位上两个内数字之和加上个位向十位的进位等于19，可以推出十位上两个内数字均填9，且个位向十位进1；由此推出个位上两个内数字之和等于11。解法：由于两个加数的十位
6、和百位数字均为9，两个加数的个位数字之和为11，因此所有内数字之和为94+11=47。7，8，9”中的某一个数字，使得该除式成立。（上海市1988年小学数学竞赛试题）分析：根据除式条件，首先可知除数的十位数字是1，第一次相除后，余数是32，由此推出商数的个位数字只能是2，除数的个位数字也只能是6。解法：例6 在中填上适当的数字，使算式成立。分析：因为除数是三位数，并且百位数为6，它和商的首位的乘积也是三位数，所以商的首位是1；因为第一行的个位数是7，所以除数的个位数也是7；因为第二行的个位为1，所以商的个位为3。因为37= 21，必须向十位进2，所以根据十位上的6，推知除数的十位是8。商与除数
7、确定后，其他数字都易于确定。解法：（1993年第三届“华罗庚金杯赛”决赛第一试试题）分析：这是一道数字谜的最值问题，要选择好“突破口”通常从首位或未位数字入手。解法：由已知条件首先确定A1，然后再看被加数与加数的个位数字之和：D+G=3或13，由题意A、D、G代表不同的数字，于是DC23=5，因此有DG=13。同理，被加数与加数的十位数字之和：C+F89=17。这样可以断定CF=8，最后可以推知，被加数与加数的百位数字之和BE=9，下面考虑乘法算式为了使乘积最大，显然乘数的首位数字E应该尽可能大，而BE=9。于是B应该尽可能小，这样可以断定取B =2，E=9，根据同样理由，可以确定乘数的十位数
8、字F应该取5，因为这时C的最小值可取3；最后确定C=9，1234759=936606。类似地，为了使乘积最小，可以依次确定B=7，E=2，C=5，F=3，D=9，1759234=411606。936606-411606=525000。所以，乘积ABCDEFG的最大值与最小值差525000。例8 在右边的算式中A、B代表不同的数字，若算式成立，求出A、B。（1980美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题）解法：算式中， ABA=114将114分解因式， 114=2319，然后将114写成一个二位数与一个一位数的积。114=522=383=196，显然383符合要求，所以A=3，B8。例9 右边乘法算式
9、中的来参加数学邀请赛“来参加数学邀请赛”八个字各代赛表一个不同的数字，其中赛代表来来来来来来来来来9，来代表，参代表，加代表，数代表，学代表，邀代表，请代表。（1986年“小学生数学报”数学邀请赛试题）解法：已知赛代表9，赛赛99=81，所以来代表1，即乘积为111111111。根据积一个因数另一个因数，可以求得被乘数1111111119=123456789。从而得出：参代表2，加代表3，数代表4，学代表5，邀代表6，请代表7。例10 下面乘式中的“趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字，每个方框中可以填0至9任何一个数字，但最高位不能填0，试确定算式中的每一个数字。解法：为叙述方便，把每行
10、中的数字从上到下称为第一行，第二行，从第二行看，“数”代表0。从第三行看，“趣”代表的数自乘后仍是一位数，所以这个数必须小于等于3。而且当“趣”代表3时，“味”必须小于等于2。从第四行看，第三行的第一个数字必须是9，因此“趣”代表3。又因“数”代表0，如果“味”代表1，那么第二行的第一个数“3”与第三行的第二个数“3”相加就没法进行。所以，“味”必须是2。于是“趣”、“味”、“数”分别为“3”、“2”、“0”。最后看第一行“学”不能大于3，否则第一行将是五位数，又因为四个数字表示互不相同的数，所以学只能是“1”。通过上面例题分析，解答算谜问题要注意：1.首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都
11、只能取0至9中的某一个数字。2.要认真分析已知算式中给出的各种数量关系，根据这些数量关系，选择“突破口”。3.突破口的选择往往从确定一个数（乘数，被乘数，除数或商）的个位、首位或其他数位上的数字入手。4.必要时要采用枚举和筛选相结合的方法，淘汰那些不合题意的解，寻找正确答案。5.运用估算的方法，缩小枚举和试验范围以减少试验次数。习题一1.在1199之间填上适合的运算符号，使等式成立。119910（天津市第一届小学生“我爱数学”邀请赛试题）2.填上合适的符号，使等式成立。4444=14444=24444=34444=44444=5（天津市第二届小学生“我爱数学”预赛试题）3.在下面式中填上算术运
12、算符号、括号，使式子成立：（1）1 2 3=1；（2）1 2 3 4=1；（3）1 2 3 4 5=1；（4）1 2 3 4 5 6=1；（5）1 2 3 4 5 6 7=1。（1984年重庆市小学数学竞赛试题）4. 填上适当的运算符号，使下式成立： 1 2 3 4 5100（1983年小学生报数学邀请赛）5.在下面十五个9之间添上+、-、（ ）使下面算式成立：9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 920006.在被除数小于100的情况下，在右图内填上适当的数：（1983年小学生报数学邀请赛试题）7.在下面的中，分别填上1、2、3、4、5、6、7、8、9中的一个数字（每个只许
13、填一次）使得带分数算式（每式只要一个填法）：（上海第一届“从小爱数学”邀请赛试题）8.在下面乘法竖式的内各填上适合的数字，使算式成立：9.在下面的方框中填上适当的数字，使算式成立：10.关于下面的算式，只知道一个数字8，你能确定其他数字吗？11.把下面除法算式中的*号填出来，成为一完整的算式。12.下式中不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求出这些字母各代表什么数字，算式才能成立：13.将下面式中的字母用数字代替，使算式成立。（1984年上海“金钥匙”数学竞赛题）14.下面算式中每一个字代表一个数字，不同的字代表不同的数字，当算式成立时，求每个字所代表的数字。（1986年北京奥
14、林匹克学校入学试题）15.在下面的算式中“三”、“好”、“学”、“生”四个汉字各代表一个阿拉伯数字，其中“三”代表，“好”代表，“学”代表，“生”代表。（1988年小学生数学报小学生数学邀请赛初赛试题）16.在象棋算式里，不同的棋子代表不同的数字，请你想一想棋子各代表哪些数字。17.下列各题的每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，试求出下列各算式。(2)(3)（4）优优优优优优学=学习再学习二 填数问题从“九宫算”谈起在填数问题中，小学生常常采用“凑”的方法，通过几次试验来寻找解答。如果我们深挖其中的道理，就会找到一些解题规律，使认识进一步深化。在这个意义上讲，填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献，著名的“九宫算”就是其中之一，最早提出的问题是：将1至9这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两个对角线上的数之和相等。这种图形填数，我国古代称为“九宫算”、“纵横图”，国外叫做幻方。“九宫图”就是将1至9的九个数填在33的小格内，它是一个三阶幻方。传说大禹治水的时候，洛水中浮出一只神龟，龟背上驮了一个“洛书”图。将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。一般地，在nn的方格内，既不重复又不遗漏地填上n2个自然数，每个数占一格，并使每行
