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1、 1-5多项式的因式分解定理多项式X 4 - 4在有理数域、实数域、复数域上的因式分解引入课题初等数学中的因式分解，X4 - 4 = (X2 - 2)(X2 + 2)(不能再分)QXX4 - 4 = (X.2)(X + *2)(x2 + 2)(不能再分)RXX4 - 4 = (X -互)(x + i2)(x -豆i)(X +2i)Cx在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分 平凡因式：零次多项式(不等于零的常数)、多项式自身、前 两个的乘积Definitions：(不可约多项式)令f(x)是Px的一个次数大 于零的多项式，如果f (x)在px中只有平凡因式，就称f(x) 为数域P
2、上(或在Px中)的不可约多项式.(p(x)在数 域P上不能表示成两个次数低的多项式的乘积) 若f (X) 除平凡因式外，在Px中还有其它因式，f(x)就说是在数 域P上(或在Px中)是可约的.如果f (X) = g(x)龙(x) ,g(x)不是平凡因式， 则收(X)和h(X)的次数显然都小于f (X)的次数.反之，若f (X)能写成两个这样多项式的乘积，那么f (X)有非平凡因式；如果Px的一个n次多项式能够分解成Px中两个次数都小于n的多项式g3)和h(x)的乘积即f (x) g(x)h(x)那么f (x)在P上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的
3、重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1. 如果多项式f (x)不可约，那么P中任意不为零的元素C 与f (x)的乘积Cf(x)都不可约.2. 设f (x)是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者f (x)与P(x)互素，或者f (x)整除P(x).3. 如果多项式f (x)与g(x)的乘积能被不可约多项式P(x)整 除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果p(x)是一个不可约多项式，P(x)整除一些多项式f (x), f (x), , f (x)的乘积，那么p(x) 一定整除这些多项 12s式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s用数学归纳法当s=1
4、时,显然成立；假设s=n-1时，结论成立;当 s=n 时，令 g(x) = f (x), g =f f 3)f ， 11223n如果 p(x) I g(x)，则p(x) I f(x)命题成立，如 果 p(x) / g(x)，则(p(x), gi(x) = 1 ,从 而 p(x) I g2(x)，即p(x)整制(x), f (x),f (x) n-1多项式的乘积，由归纳法假设 23np( x)整除其中一个多项式，根据数学归纳法原理，命题得证.因式分解及唯一性定理：多项式环Px的每一个n (n 0)次多项式f (x)都可以唯一分解成Px的不可约多项式的乘积；f (x) = p (x) p (x)p
5、 (x) 12s所谓唯一性是说，如果有两个分解式f (x) = p (x) p (x)p (x) = q (x) q (x)q (x) 12s12t那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有p, (x) = cq (x) (i = 1,2,s)标准分解式(典型分解式):f ( x) = cprx( x) pr2 ( x)prs (x) 12s其中c是f(x)的首项系数，p (x),p (x),p (x)是不同的、首12s项系数为1的不可约多项式，而r1 ,r2 ,气正整数.例1：在有理数域上分解多项式，f (x) = x3 + x2 - 2x - 2 .证 明 因 式 分 解 定 理f
6、(x) = x3 + x2 一 2x 一 2 = (x + 1)(x2 + x 一 2) = (x +1)(x 一 1)(x + 2)例2：求 f 3) = X 5 - X 4 - 2 X 3 + 2 X 2 + X - 1在04内的典型分解式- f (X)= X5 一 X4 一 2X3 + 2X 2 + X 一 1 = (X 一 1)(X4 一 2X 2 + 1) = (X 一 1)3(X + 1)2例 3.求 f (X)= 2 X 5 - 10 X 4 + 16 X 3 - 16 X 2 + 14 X 一 6 在人x内的典型分解式.f (X)= 2( X 2 +1)( X -1)2( X
7、- 3)例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式X5 - 1和X6 - 1为不可约多项式的乘积.突出不同数域上不同多项式的因式解：(X5 - 1) = (X - 1)(X4 + X3 + X2 + X + 1)Qx(X5 1) = (X 1)( X4 + X3 + X 2 + X + 1)， 一2兀一 一4兀=(x -1)(x2 - 2 cos m +1)(x2 - 2 cos +1)Rx(X5 1) = (X 1)( X4 + X3 + X2 + X + 1)42S. . 2S=(X 一 1)(X 一 cos一 i sin)Cxk=1在Qx上布置作业(X6 - 1) = (X3 - 1)(X3 + 1) = (X - 1)(X2 + X + 1)(X + 1)(X2 - X + 1) ;在Rx上(X6 - 1) = (X3 - 1)(X3 + 1) = (X - 1)(X2 + X + 1)(X + 1)(X2 - X + 1) ;在Cx上X 6 -1 = (X -1)( X -1 + i)(X -1 一技 i)( X +1)( X +1 + i)(X +1 一2 i)22222222
