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1、第一讲 极限与持续一、重要的概念1极限定义（1）数列极限定义():若对任意的，总存在,当时，有成立，称为数列的极限，记。（2）自变量趋于无穷时函数极限的定义(）：若对任意的，总存在，当时,有成立,称为函数当时的极限,记。（3)自变量趋于有限值时函数极限的定义（):若对任意的，总存在，当时,有成立,称为函数当时的极限，记。(4）左右极限的定义：若对任意的,总存在,当时，有成立,称为函数在处的左极限，记。:若对任意的,总存在，当时,有成立，称为函数在处的右极限，记。注解:存在都存在且相等。.无穷小(1)无穷小的定义以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设，若,称是的高
2、阶无穷小，记为；若,称与为同阶无穷小,记为,特别地，若,称与为等价无穷小，记为。（3）无穷小的性质1）有限个无穷小之和还是无穷小;2）无穷小与有界函数之积还是无穷小；)无穷小与常数之积还是无穷小;）有限个无穷小之积还是无穷小；5)的充足必要条件是,其中；6）;),且存在，则也存在且。（4)时常用的等价无穷小1）;2）（);3)；4)。.持续（1)若，称在点处持续；（)若在区间内点点持续，且,称在区间上持续，记为。.间断点的分类设在处间断,则(1）若都存在，则称为函数的第一类间断点，更进一步，1)若，称为的可去间断点;）若，称为的跳跃间断点。(）若至少有一种不存在,称为函数的第二类间断点。二、重
3、要定理（一)极限定理极限存在必唯一性定理极限存在必唯一(需掌握证明）。2数列极限的有界性定理若,则存在，对一切的,有。(需掌握证明)。.夹逼定理设,且，则（对数列有同样的定理)。(需掌握证明)。（二）闭区间上持续函数的性质.最值定理设,则在区间上取到最大和最小值。2有界定理设，则存在,使得。3零点定理设，且，则存在，使得。.介值定理(1)设,对任意(其中为在上的最小值和最大值)，存在，使得。(2)设，且(不妨设）,对任意，存在，使得。三、重要极限1.; 2。四、常用的马克劳林公式(1）。（2）。(3)。（)。(5)。(6)。（）。五、常用题型(一)求极限注解:求极限的措施措施一：重要极限措施二
4、：极限存在准则措施三:等价无穷小措施四:马克劳林公式措施五：罗必达法则措施六：中值定理措施七：定积分1.。解答：，而，因此，于是。3.设二阶持续可导,求。4设在的邻域内可导,且，求。5.设,当时,证明数列收敛并求其极限。解答:令,由于，因此单调。又由于，因此数列有界,从而数列收敛,令,则有。6.解答：。.。解答:。8。解答:，由于，因此。9.。10。解答：,由及,得，从而，于是。1。2。13.求常数，使得。()14设，求的间断点并指出其类型。解答：一方面,另一方面的间断点为,由于,所觉得函数的第一类间断点中的可去间断点，为函数的第二类间断点。15.设在上持续，任取(）,任取（),证明:存在，使
5、得。第二讲 一元函数微分学一、重要的概念导数设的定义域为，,记，若存在,称在点处可导,其极限称为函数在点处的导数,记为或。2.左、右导数若存在，称在处右可导,记为；若存在，称在处左可导,记为,函数在处可导的充足必要条件是其左右导数都存在且相等。注解:导数的其她定义(1)；（）；(3）。2.可微设在的邻域内有定义，若,称在处可微，其中称为函数在处的微分，记为,习惯上记为。二、重要的定理1.若函数可导,则函数一定持续。2.可导与可微等价。3.四个中值定理（1)罗尔中值定理(2)拉格郎日中值定理（3)柯西中值定理（4)泰勒中值定理三、重要公式(一）基本求导公式（二）四则求导法则(三）复合函数链式求导
6、法则四、一元函数微分学的应用(一）单调性与极值(二）最值（三）凹凸性(四)弧微分、曲率与曲率圆1弧微分(1)（1)若，则；（2）若,则;（3)若，则。2曲线的的曲率 ； .曲线的曲率半径为；曲率圆（1)定义设函数在处有二阶导数,且,记为曲线上相应于的点，若圆在点满足:与曲线相切；与曲线有相似的凹凸方向;与曲线在点处有相似的曲率半径,称圆为曲线在点处的曲率圆。（)曲率圆的中心曲率圆中心必在曲线在处的法线上,因此有。又，则。例子1求曲线在点处的曲率圆。解答：，则。曲线在点的曲率半径为，曲率中心为,所求的曲率圆为。2求曲线上相应于参数的点处的曲率圆。解答:相应的点为。,则,曲线在点处的曲率半径为，曲
7、率中心为,所求的曲率圆为。(五）渐近线五、常用的题型1设在处可导，求。2设持续,且对任意的有,求。.，求。4.设二阶可导，且，求。5设，若在处可导，求。（）6，求。7.，求。()8.设，求并讨论在处的持续性。9设持续，,且,求，并讨论在处的持续性。10,求。11设持续,且,求。12.设拟定函数，求。13设,求。1是的反函数，可导,且,求。5选择题(1）设,则下列对的的是 （ ）是的极大值； 是的极大值;是的极小值; 是的拐点。（)设在处二阶可导，且,则 ( ）（A)是的极大值. （B)是的极小值. (C）是曲线的拐点. （）不是的极值点，也不是曲线的拐点.(3）设二阶持续可导，且,则( )是的
8、极小值; 是的极大值；是曲线的拐点; 是的驻点但不是极值点。16设在上持续,，又，证明:存在,使得。解答:由于，因此同号,不妨假设,由，存在，使得；由，存在，使得，令,由于,因此有零点定理，存在介于与之间(）,使得，即。17设函数在区间上持续，在内可导，且,，证明：存在,使得。8.设，证明:存在，使得。9.设在上持续，在内可导，且,证明:存在，使得 。20.设在上持续，在内可导，且。证明:存在，使得。21.设在上持续，在内可导,证明:存在,使得 。.设在上持续,内二阶可导，且，证明:（1）存在,使得;(2）存在，使得。2设,且。证明：存在,使得。24.一质点从时间开始直线运动，移动了单位距离使
9、用了单位时间，且初速度和末速度都为零。证明：在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不不不小于4。5.设在上有四阶持续的导数，且存在。(1）写出的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（2）证明:存在，使得 。26.设在上满足，且在内取到最小值,证明: 。7设，证明：存在，使得。2设在上二阶可导，,，证明对对任意的,有。2设在上二阶可导，且，其中都是非负常数,为内任意一点。（1）写出在处带Lgang型余项的一阶泰勒公式；()证明：。(996年真题预测）3.设函数在上二阶可导,且。证明：存在,使得。解答：由泰勒公式，得,，两式相减,得当时，取,则有;当时,取,则有。1设在上二阶可导,且,证明：对任意的
10、，有。3设二阶可导,且,证明:对任意的,有。设二阶可导,且,证明:当时，。34.设，证明:。证明：。令，。,，,由；再由，而，因此,即,从而。35设，证明:。证明:一方面证明。由于,因此令，,，由,而，因此，即。再证。措施一:由于,因此令，。由，由于因此，即。措施二：令,则存在，使得，其中，则，因此。36证明不等式。37.设在内可导且，证明:。证明：令，则在内可导,又，,因此当时，因此有。38.证明:对任意的,且，有。3设在上可导，当时，,。证明:方程在内有且仅有一种实根。0设。证明：(1）方程在上有唯一的实根；()求。41设在上二阶可导，且，证明：方程在内有根。证明：令。2设为常数,方程在内
11、恰有一根，求的取值范畴。解：令,。(1）若,由,又，因此原方程在恰有一种实根；(）若,，又，因此原方程也恰有一种实根；（)若,令，又,所觉得的最大值，令，得,因此的取值范畴是。43证明方程在内有且仅有两个不同的实根。第三讲 一元函数积分学一、 重要的概念1.原函数设与为两个函数，若,则称为的一种原函数。注解：（1）持续函数一定存在原函数;（2)有第一类间断的函数一定不存在原函数,有第二类间断点的函数也许存在原函数;(）任意两个原函数之间相差常数。2不定积分设存在原函数，则其所有的原函数称为的不定积分，记为，即。注解:（1)； （2)。3.定积分二、重要的定理1积分基本定理的引理设，令,则;2.
12、积分基本定理设，且为的一种原函数，则。三、重要的积分性质（一)定积分基本性质；3.；4；5.设，则;推论1 若,则；推论 若，则；6设在上可积，且,则;.设，则存在，使得;8.（1)设,且，则;(2）若，且不恒为零,则；（3）若，且与不恒等,则；9.设,则。（二）定积分的特殊性质1.设为持续函数，则，特别地，且;.；3.;5.设是觉得周期的持续函数，则对任意的实数有（1）； （);6设,则（）;(2)若,则；（）若，则。四、积分法1.换元积分法；2.分部积分法：，。五、定积分的应用1.平面区域的面积（1）设,则；（)设，则;(3）,则;（4）曲线，则绕轴一周所得旋转曲面的表面积为;2.旋转体的体积分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体的体积为， ；3.截口面积已知的几何体的体积设几何体位于与之间，对任意的，其截口面积为,则该几何体的体积为。4曲线段的长度(1）设,则,;（2)设，则，;(3)设，则,。六、常用题型1.计算下列不定积分(1)； (2);（3); ();(5); (6）;(7）; （）。2.设函数持续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是 （ )； ；; 。3(1）计算； （2）；（); （4);（5)。4设,求。设在上可微,且。证明:存在，使得。.设,证明:存在,使得。设是觉得周期的
