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1、第一讲 极限与持续一、重要的概念1极限定义(1)数列极限定义():若对任意的,总存在,当时,有成立,称为数列的极限,记。(2)自变量趋于无穷时函数极限的定义():若对任意的,总存在,当时,有成立,称为函数当时的极限,记。(3)自变量趋于有限值时函数极限的定义():若对任意的,总存在,当时,有成立,称为函数当时的极限,记。(4)左右极限的定义:若对任意的,总存在,当时,有成立,称为函数在处的左极限,记。:若对任意的,总存在,当时,有成立,称为函数在处的右极限,记。注解:存在都存在且相等。.无穷小(1)无穷小的定义以零为极限的函数称为无穷小。(2)无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设,若,称是的高
2、阶无穷小,记为;若,称与为同阶无穷小,记为,特别地,若,称与为等价无穷小,记为。(3)无穷小的性质1)有限个无穷小之和还是无穷小;2)无穷小与有界函数之积还是无穷小;)无穷小与常数之积还是无穷小;)有限个无穷小之积还是无穷小;5)的充足必要条件是,其中;6);),且存在,则也存在且。(4)时常用的等价无穷小1);2)();3);4)。.持续(1)若,称在点处持续;()若在区间内点点持续,且,称在区间上持续,记为。.间断点的分类设在处间断,则(1)若都存在,则称为函数的第一类间断点,更进一步,1)若,称为的可去间断点;)若,称为的跳跃间断点。()若至少有一种不存在,称为函数的第二类间断点。二、重
3、要定理(一)极限定理极限存在必唯一性定理极限存在必唯一(需掌握证明)。2数列极限的有界性定理若,则存在,对一切的,有。(需掌握证明)。.夹逼定理设,且,则(对数列有同样的定理)。(需掌握证明)。(二)闭区间上持续函数的性质.最值定理设,则在区间上取到最大和最小值。2有界定理设,则存在,使得。3零点定理设,且,则存在,使得。.介值定理(1)设,对任意(其中为在上的最小值和最大值),存在,使得。(2)设,且(不妨设),对任意,存在,使得。三、重要极限1.; 2。四、常用的马克劳林公式(1)。(2)。(3)。()。(5)。(6)。()。五、常用题型(一)求极限注解:求极限的措施措施一:重要极限措施二
4、:极限存在准则措施三:等价无穷小措施四:马克劳林公式措施五:罗必达法则措施六:中值定理措施七:定积分1.。解答:,而,因此,于是。3.设二阶持续可导,求。4设在的邻域内可导,且,求。5.设,当时,证明数列收敛并求其极限。解答:令,由于,因此单调。又由于,因此数列有界,从而数列收敛,令,则有。6.解答:。.。解答:。8。解答:,由于,因此。9.。10。解答:,由及,得,从而,于是。1。2。13.求常数,使得。()14设,求的间断点并指出其类型。解答:一方面,另一方面的间断点为,由于,所觉得函数的第一类间断点中的可去间断点,为函数的第二类间断点。15.设在上持续,任取(),任取(),证明:存在,使
5、得。第二讲 一元函数微分学一、重要的概念导数设的定义域为,,记,若存在,称在点处可导,其极限称为函数在点处的导数,记为或。2.左、右导数若存在,称在处右可导,记为;若存在,称在处左可导,记为,函数在处可导的充足必要条件是其左右导数都存在且相等。注解:导数的其她定义(1);();(3)。2.可微设在的邻域内有定义,若,称在处可微,其中称为函数在处的微分,记为,习惯上记为。二、重要的定理1.若函数可导,则函数一定持续。2.可导与可微等价。3.四个中值定理(1)罗尔中值定理(2)拉格郎日中值定理(3)柯西中值定理(4)泰勒中值定理三、重要公式(一)基本求导公式(二)四则求导法则(三)复合函数链式求导
6、法则四、一元函数微分学的应用(一)单调性与极值(二)最值(三)凹凸性(四)弧微分、曲率与曲率圆1弧微分(1)(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则。2曲线的的曲率 ; .曲线的曲率半径为;曲率圆(1)定义设函数在处有二阶导数,且,记为曲线上相应于的点,若圆在点满足:与曲线相切;与曲线有相似的凹凸方向;与曲线在点处有相似的曲率半径,称圆为曲线在点处的曲率圆。()曲率圆的中心曲率圆中心必在曲线在处的法线上,因此有。又,则。例子1求曲线在点处的曲率圆。解答:,则。曲线在点的曲率半径为,曲率中心为,所求的曲率圆为。2求曲线上相应于参数的点处的曲率圆。解答:相应的点为。,则,曲线在点处的曲率半径为,曲
7、率中心为,所求的曲率圆为。(五)渐近线五、常用的题型1设在处可导,求。2设持续,且对任意的有,求。.,求。4.设二阶可导,且,求。5设,若在处可导,求。()6,求。7.,求。()8.设,求并讨论在处的持续性。9设持续,,且,求,并讨论在处的持续性。10,求。11设持续,且,求。12.设拟定函数,求。13设,求。1是的反函数,可导,且,求。5选择题(1)设,则下列对的的是 ( )是的极大值; 是的极大值;是的极小值; 是的拐点。()设在处二阶可导,且,则 ( )(A)是的极大值. (B)是的极小值. (C)是曲线的拐点. ()不是的极值点,也不是曲线的拐点.(3)设二阶持续可导,且,则( )是的
8、极小值; 是的极大值;是曲线的拐点; 是的驻点但不是极值点。16设在上持续,,又,证明:存在,使得。解答:由于,因此同号,不妨假设,由,存在,使得;由,存在,使得,令,由于,因此有零点定理,存在介于与之间(),使得,即。17设函数在区间上持续,在内可导,且,,证明:存在,使得。8.设,证明:存在,使得。9.设在上持续,在内可导,且,证明:存在,使得 。20.设在上持续,在内可导,且。证明:存在,使得。21.设在上持续,在内可导,证明:存在,使得 。.设在上持续,内二阶可导,且,证明:(1)存在,使得;(2)存在,使得。2设,且。证明:存在,使得。24.一质点从时间开始直线运动,移动了单位距离使
9、用了单位时间,且初速度和末速度都为零。证明:在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不不不小于4。5.设在上有四阶持续的导数,且存在。(1)写出的带拉格朗日余项的马克劳林公式;(2)证明:存在,使得 。26.设在上满足,且在内取到最小值,证明: 。7设,证明:存在,使得。2设在上二阶可导,,,证明对对任意的,有。2设在上二阶可导,且,其中都是非负常数,为内任意一点。(1)写出在处带Lgang型余项的一阶泰勒公式;()证明:。(996年真题预测)3.设函数在上二阶可导,且。证明:存在,使得。解答:由泰勒公式,得,,两式相减,得当时,取,则有;当时,取,则有。1设在上二阶可导,且,证明:对任意的
10、,有。3设二阶可导,且,证明:对任意的,有。设二阶可导,且,证明:当时,。34.设,证明:。证明:。令,。,,,由;再由,而,因此,即,从而。35设,证明:。证明:一方面证明。由于,因此令,,,由,而,因此,即。再证。措施一:由于,因此令,。由,由于因此,即。措施二:令,则存在,使得,其中,则,因此。36证明不等式。37.设在内可导且,证明:。证明:令,则在内可导,又,,因此当时,因此有。38.证明:对任意的,且,有。3设在上可导,当时,,。证明:方程在内有且仅有一种实根。0设。证明:(1)方程在上有唯一的实根;()求。41设在上二阶可导,且,证明:方程在内有根。证明:令。2设为常数,方程在内
11、恰有一根,求的取值范畴。解:令,。(1)若,由,又,因此原方程在恰有一种实根;()若,,又,因此原方程也恰有一种实根;()若,令,又,所觉得的最大值,令,得,因此的取值范畴是。43证明方程在内有且仅有两个不同的实根。第三讲 一元函数积分学一、 重要的概念1.原函数设与为两个函数,若,则称为的一种原函数。注解:(1)持续函数一定存在原函数;(2)有第一类间断的函数一定不存在原函数,有第二类间断点的函数也许存在原函数;()任意两个原函数之间相差常数。2不定积分设存在原函数,则其所有的原函数称为的不定积分,记为,即。注解:(1); (2)。3.定积分二、重要的定理1积分基本定理的引理设,令,则;2.
12、积分基本定理设,且为的一种原函数,则。三、重要的积分性质(一)定积分基本性质;3.;4;5.设,则;推论1 若,则;推论 若,则;6设在上可积,且,则;.设,则存在,使得;8.(1)设,且,则;(2)若,且不恒为零,则;(3)若,且与不恒等,则;9.设,则。(二)定积分的特殊性质1.设为持续函数,则,特别地,且;.;3.;5.设是觉得周期的持续函数,则对任意的实数有(1); ();6设,则();(2)若,则;()若,则。四、积分法1.换元积分法;2.分部积分法:,。五、定积分的应用1.平面区域的面积(1)设,则;()设,则;(3),则;(4)曲线,则绕轴一周所得旋转曲面的表面积为;2.旋转体的体积分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体的体积为, ;3.截口面积已知的几何体的体积设几何体位于与之间,对任意的,其截口面积为,则该几何体的体积为。4曲线段的长度(1)设,则,;(2)设,则,;(3)设,则,。六、常用题型1.计算下列不定积分(1); (2);(3); ();(5); (6);(7); ()。2.设函数持续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是 ( ); ;; 。3(1)计算; (2);(); (4);(5)。4设,求。设在上可微,且。证明:存在,使得。.设,证明:存在,使得。设是觉得周期的