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1、word专题四因式分解与方程一、根本知识和方法1. 因式分解将一个多项式写成一个或几个多项式相乘的形式，称为因式分解。习惯上，我们要求因式分解的结果中的多项式为既约多项式。既约多项式也称为不可约多项式，不能分解为次数更低的多项式的乘积。如果一个多项式能够分解为次数更低的多项式的乘积，那么这个多项式称为可约多项式 这里忽略系数含有公因子的整系数多项式。习惯上，这类多项式的因式分解要求提取系数的公因数。即约多项式的判定依赖于多项式所在的数集。在较小的数集上既约的多项式，在较大的数集上可能是可约的。例如，多项式在整数上是既约的，但是在实数上可以分解为；多项式在整数与实数上都是既约的，但是在复数上可以
2、分解为。有理系数多项式可以通过提取适当的有理数转化为整系数多项式。在有理数上分解因式，本质上与在整数上分解因式是一样的。在上一节，我们提到了多项式在运算上与整数的相似之处。多项式的因式分解与整数的质因数分解也是非常相似的。多项式中既约多项式的地位与整数中质数的地位是相似的，多项式的因式分解与整数的质因数分解也非常相似。更进一步，整数的质因数分解是唯一的；类似地，在相差一个数的倍数的意义下，多项式的因式分解也是唯一的。上述事实被称为因式分解唯一定理。利用这一定理，我们可以处理一些不太容易处理的问题。考虑多项式的因式分解。先利用立方差公式，然后利用平方差公式，可得：但是如果先利用平方差公式，然后利
3、用立方差与立方和公式，可得：为什么两种方式分解出来的结果不一样呢？如果掌握了因式分解唯一定理，我们就可以确信：，多项式乘法显然可以验证这一等式，我们也可以通过“拆添项的技巧来达到同样的目标：下面我们来看一个更复杂的例子，考虑多项式的因式分解。一方面，我们有：另一方面，我们还可以得出：又一次地，我们得出了两个不同的结果。不过根据前面的知识与经验，我们可以确信，利用多项式的除法，我们可以算出：与，这样我们最终殊途同归：。这是年全国数学联赛的一道赛题，后来又被一位教授用作对研究生的考题因式分解技巧页，单墫，华东师X大学。得出最后的结果，一方面需要因式分解唯一定理这一知识，另一方面还需要证明多项式是既
4、约的 可以利用爱森斯坦Eisenstein判别法来证明这一多项式是既约多项式；另外，这一多项式是分圆多项式，而分圆多项式在有理数X围内都是既约的。，这是不太容易的。因式分解的理论就介绍到这里，下面我们来重点介绍因式分解的方法。除了在中学课本中介绍的方法之外，因式分解有一个非常重要的方法十字相乘法；其中，又以含有字母系数的十字相乘法最易被无视，而这一方法在初等数学问题中有非常广泛与重要的应用。整数系数的二次三项式的十字相乘，在求解一元二次方程中使用频率非常高，这里我们就不赘述了。下面，我们从二元二次六项式开始。考虑多项式的因式分解，根本的方法分为三个步骤：首先选取主元，将多项式整理为关于降幂排列
5、的形式：，然后分解“常数项：，最后利用十字相乘进展分解，得：，即。这一方法同样适用于三元齐二次多项式。例如：。首先关于降幂排列：，然后分解“常数项：，最后十字相乘：。即使多项式的次数超过二次，但是只要有一个字母的最高次数恰好为二次，这一方法就很有可能成功。下面我们再来看两个较复杂的例子。考虑多项式的因式分解。这个三元多项式并不是齐二次的，但是其中每一个字母的次数都不超过二次，因此可以选择作为主元进展降幂排列，然后分解：再看一个例子：。这是一个更复杂的四元四次多项式，但是将其中的与看作是字母系数，将这个多项式整理为关于与的齐二次多项式，十字相乘的方法仍然奏效：2. 因式定理因式分解与方程有着非常
6、严密的联系。利用因式分解来解一元二次方程是使用频率非常高的解法。反过来，利用方程也可以帮助因式分解。事实上，我们有：因式定理：设是一个多项式，是方程的一个解，那么多项式有因式。下面，我们用两种方法来证明这一定理。设，其中，都是预先给定的数，如此。因为，所以根据公式，对于每一个，即，因此，即有因式。我们用多项式的带余除法给出另一种证明。设多项式除以的商式为，余式为，即，如此多项式的次数低于除式的次数，即实际上是一个数，设为。因此，在上式中代入，得，因此有，而，所以，即有因式。根据这一证明，我们可以得到因式定理的一个推广：余数定理多项式除以所得的余数等于。当我们需要计算一元多项式中，一个多项式除以
7、一个一次多项式的余式时，余数定理提供了可能更为快捷的计算方法。因式定理用于多项式的因式分解，有两个比拟重要的应用：一个是进展高次多项式特别是三次多项式的因式分解，另一个是对称多项式的因式分解。下面我们通过几个例子，主要介绍利用因式定理因式分解一元三次方程。多项式在整数X围内是既约的，但是在实数X围内可以分解。一种方式是利用因式定理，先求解一元二次方程的两根分别为，因此；另一种方式就是利用配方与平方差公式：。当多项式的次数增加到三次时，配方的方法就无法奏效了。例如多项式，我们无法进展配方以利用平方差公式，但是此时因式定理仍然可以帮助我们。观察到当时，多项式的值为零，因此是这个多项式的一个因式，即
8、。在这里，观察到是这个多项式的一根并不完全依靠运气。事实上，我们有:定理多项式的有理根设有理数，其中、；多项式，其中，都是整数。如果，那么且。这一定理说的是，如果一个整系数多项式有有理根，那么将这个有理数写成既约分数的形式后，分子一定整除常数项，分母一定整除多项式最高次项的系数。对多项式应用这一定理，可以得出：使这个多项式的值为零的有理数，其分母一定整除最高次项系数，其分子一定整除常数项。即这些有理数一定都是整数，并且都是的因数，因此可能的数只有、与。根据这一定理，任意给定一个整系数多项式，可以列出这个多项式所有可能的有理根，然后依次进展验证。一旦确定一根，根据因式定理，就可以确定一个一次因式
9、。继而利用多项式除法确定另一个因式，然后继续分解这个因式即可。试有理根的这个方法，能够解决相当数量的一元整系数高次多项式的因式分解问题。但是，当多项式没有有理根时，这一方法就无能为力了。例如上一节给出的多项式。这个多项式的有理根只可能是或，分别代入验证，可以确认都不是多项式的根。结论就是这个多项式没有有理根，因此在有理数X围内也没有一次因式。事实上，在整数X围内，它恰有两个二次因式。当多项式的系数与常数项中含有无理数时，上面所说的试有理根的方法就不存在了。但是只要我们能够找到多项式的无理根，一样可以利用因式定理来分解因式。例如多项式，观察到当时，多项式的值为零，因此，利用多项式的除法可得，其中
10、，二次三项式的判别式小于零，在实数上是既约的。在这个例子中，运用“拆添项的技巧，也不是不能直接进展因式分解：但是观察出多项式有一根应该比找到上述的“拆添项容易一些。下面我们来看一个复杂一点的例子，考虑多项式。现在，需要有欧拉一般的直觉，才能找到正确的“拆添项；似乎需要比欧拉更敏锐的直觉，才能找到多项式的一根，以便因式定理能够发挥作用。在这里，试有理根的方法通过另一种方式发挥作用，提供一些找到无理根的可能。注意到多项式的系数与常数项，都具有的形式，其中。我们将这类数全体构成的集合记为，具有与整数类似的性质。类比对整系数多项式试有理根的方法，我们先将常数项在上分解：，这样我们得到在中共有八个因数：
11、、与。依次试算，当时，多项式的值为零，因此有，利用多项式除法可以算出，一元二次方程的两解为,因此。3.韦达定理韦达定理是描述一元方程根与系数关系的定理。考虑一元二次方程,设这个方程有两个实数根与，那么根据因式定理，可以得出，将等式右边乘开，比拟两边系数，可得这个关系就是一元二次方程韦达定理的内容 事实上，当一元二次方程没有实数解时，韦达定理对于两个复数根仍然成立。进一步地，考虑一元三次方程，设这个方程有三个实数根、与，根据因式定理可以得出，比拟两边系数，可得这就是一元三次方程的韦达定理。类似地，可以得到一元次方程的韦达定理。利用韦达定理，我们可以简化一些问题的计算。例如，方程的一根是，求的值与
12、另一根。我们可以先将带回方程中，解出，然后再求解一元二次方程得到另一根。但是利用韦达定理，我们可以直接得出另一根为，继而得出，计算简便许多。又例如，与是一元二次方程的两根，求值。如果先求解方程得出，再代入中，计算将非常麻烦。但是利用韦达定理，我们有，韦达定理的逆定理也是成立的：定理韦达定理逆定理当实数与满足且时，与是方程的两根。将与代入方程中，有，分解因式，因此与是方程的两根。相对于韦达定理，其逆定理更常用。例如，实数、与满足，我们可以得到，因此，与是一元二次方程的两根，因此这个方程的判别式必然大于零。然而，所以，即，继而可以求得。二、典型例题：例1. 此题背景参见阅读材料分圆多项式。2006
13、复旦保送推优如下各式能否在实属X围内分解因式？假如能，请做出分解；假如不能，请说明理由.(1) (2) (3) (4)例2. ，求的值例3.2008某某设为非负实数，满足，如此。例4.2003市高一竞赛题正整数满足，求的值。例5. 解方程。例6. ，求方程的实数解例7.求值：.例8.当实数取何值时，关于的方程1没有实数解；2有且仅有一个实数解；3有且仅有两个实数解；4有三个实数解。例9.的三个根分别为，并且是不全为零的有理数，求的值例10解方程组习题1解方程206年某某交大设，解方程3复旦在实数X围内求方程4方程组恰有两组解，某某数的取值X围5. (2007某某) 设为方程的根，如此.用表示结
14、果6方程组的有理数解的个数为7解方程组8求所有满足方程组的三元实数组阅读材料：分圆多项式。在复数域内，方程的根称为次单位根，其中。设为一个次单位根，如此有。根据棣莫弗公式，有，即，因此且一定是的整数倍。设，其中，如此，因此有，其中。容易看出，由上式表示的不同的的值只有个，即复数域上，恰有个次单位根。设 中的表示上标，而不是乘方。，其中，恰为辐角在中的个次单位根，它们的辐角都是的整数倍。在复平面上，它们构成单位圆的内接正边形。个次单位根关于乘法构成元循环群。其中，有一些单位根是这个循环群的一个生成元，但是另一些不是。例如，的复根有三个，分别为，与，习惯上，也记为。可以验证，因此，是三次单位根循环群的生成元。同理可以验证，也是三次单位根循环群的生成元，但是不是。又例如，的复根有四个，分别为，其中，因此与都是四次单位根循环群的生成元；但是，因此不是四次单位根循环群的生成元，也不是。次单位根循环群的生成元称为本
