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1、1 应用格林公式计算下列曲线积分；（1） ( x y)2 dx ( x2y 2 ) dy ，其中 L 是以 A(1,1), B(3,2), C (2,5) 为顶点的三角形，方L向取正向；（2）(ex sin ymy)dx(ex cos ym)dy ，其中 m 为常数， AB 为由 (a,0) 到 (0,0) 经AB过圆 x2y 2ax 上半部的路线 .分析：（ 1）首先应画出曲线L 的图形，并求出AB ， BC ， CA 的方程；（ 2）应用格林公式时，首先应是封闭曲线，因此（2）题应补上直线段OA解：（ 1）AB 的方程为 : y1 ( x 1)(1x3) ,2BC 的方程为 :y3x 11
2、(2x3)CA 的方程为 :y4x3(1x 2) ,设 P (x y) 2 , Q(x 2y 2 ) ,则 QP2x 2(x y)4x 2 y.xy把三角形域分成两部分S1和 S2,于是原式 =( 4x2 y)d()(4x2y)dSS1S224 x3(4 x 2y) dy33 x 114x 2 y)dy=dx 11)2dx 1(1(x( x 1)222119x277353212494832=(x)dx( xx)dx46 .142224243(2) 在 Ox 轴上连接点 O(0,0) 与点 A(a,0) 这样就构成封闭的半圆形AOA ,且在线段 OA上, y 0, dy0 于是(exsiny)(
3、excos)dy0.OAmy dxy m而AOAOAO.由格林公式得 :AOA(ex sin ymy)dx(ex cos ym) dymdxdym1( a ) 2m a 2AOAD: x2 y2 ax228因此 ,原式 = ma2.82 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:(1)星形线 : xacos3 t, ya sin 3 t ;(2)双纽线 : ( x 2y2 ) 2a 2 ( x2y 2 ).分析 ：封闭曲线 L： xx(t ), yy(t ) 所围的面积公式是：SDd1ydxxdySD2 L解：(1) SDd1xdyydx2 LSD=1232t costasin3t2t sin
4、t) dt2 0(a cos t3a sin3a cos=3a2(cos4 t sin 2 tsin 4 t cos2 t )dt2203a222 t cos2 tdt=sin203a222 2tdt=sin80=3a22 1cos 4t802dt=3a2( 1 t1 sin 4t) |023a2.8288（ 2）化双纽线的极坐标方程为参数方程xr () cosa coscos2,ya sincos2,应用面积公式并利用图形的对称性可得S41xdy ydx4 a 2 cos2 da 2 .2 L03:若L为平面上封闭曲线, l为任意方向向量,cos(l , n)ds0,其中 n 为曲线L的 证
5、明则L外法线方向 .分析： 设 l 与 n 的方向余弦分别为cos,cos与 cos(n, x), cos(n, y), 则cos(l , n)coscos(n, x)coscos(n, y) ，又 cos(n, y)dsdx,cos( n, x)ds dy证：设 l 与 n 的方向余弦分别为cos,cos与 cos(n, x), cos(n, y), 则L cos(l , n)dsL cos cos(n, x)coscos(n, y)ds由第一、二型曲线积分的关系，有上式 =Lcosdxcosdy由 cos ,cos 均为常数，故coscosyx0从而由格林公式知L cos(l ,n)ds0.4 求积分值 I x cos(n, x)y cos(n, y) ds, 其中 L 为包围有界区域的封闭曲线，n 为 L
