《双缝干涉条纹间距公式的推导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双缝干涉条纹间距公式的推导（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、双缝干涉条纹间距公式的推导相干光经双缝后再次在屏上相遇互相叠加，形成了稳定的明暗相间的干涉条纹，理论和实验 都证明：在两狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距 跟光的波长成正比，现简要推导如下：如图，。是S1S2的中垂线与屏的交点；d是s1、s2的距离i I是缝与所的距离；x是 p点到。点的距离；r1、r2是屏上P点到s1、s2的距离；设s1 v s2到P点的路程差为6= r2r1,由图可知(2 )可碍所以ddr；- r?= ( x+ )( X-)七2立事22即：(r： + rL )( r】一 m )二由于 L d lx j 画此 r：+r：21当8等于光波波长久
2、的整数倍时 两列波在P点同相加 强.出现亮条纹。dID kA = x ( k=0 / 1 2 3 )31则 x= k A ( k=0. 1 2 3 j )3d所以 Ax=Xexk = ( k+1 )人一 kA =入。d d d即 x 二A( 4 ) 3d当S等于光波半波长4的奇数倍时,两列波在p点辰2相减弱.出现暗条纹：a即(2kH )4 =2则 x =( 2kH ) d 2(k=Ol 2.3AdX(k=0 j1 j2 3 )1所以 x 二 Xe - xk= ( 2k+3 ) 1 ( 2k+1 ) d 2 d4 1 二A 4-12d即 x二一人d根据（4）、（5）两式可知：相邻两条明纹（或暗纹
3、）间距离均为xT/d入，而I、d 和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。应用相干光经双缝产生干涉现象，当发生如下变化时，干涉条纹如何变化？ （1） 屏幕移近；（2）缝距变小；（3）波长变长；分析由公式 忑=1/dA可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离忑与I、入成正比， 与d成反比。（1）若屏幕移近，贝UI变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。（3）若波长入变长，则k变大。因此若入射光为白光，则中央明纹（白色）的两侧, 出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。另外在研究干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从 光的能量角
4、度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。双缝干涉条纹间距公式的推导如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为-d的点与d的点为两波源。这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长整数倍n人(零除外)的双曲线簇。其中f- d ,0、 k 2 )飞,01为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为: k2 )22用直线y = i去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将y = i代入双曲线簇的方程，有:-=12X 2f当2 )解得：上式中，d的数量级为10-4m，人为10 7m。故d2 n 2 人 2 = d 2， x的表达式简化为:12其
5、中1的数量级为10。m，d的数量级为10-4m。故丁牝104，x的表达式简化为: d 212nklx = n人J=d 2 d1X可见，交点横坐标成一等差数列，公差为-，这说明:d（1）条纹是等间距的；（2）相邻两条纹的间距为奖。d至此，证明了条纹间距公式：电=1人 d杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?海军航空工程学院李磊梁吉峰选自物理教师2008年第11期在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：& = /d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而 言，其波长入为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行
6、的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图I。 我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢？图】首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。图2设定双缝S、S的间距为d，双缝所在平面与光屏P平行。双缝与屏之间的垂直距离为L，我们在屏上任取一点P，设定点P与双缝S、S的距离分别为r和r， 12111212O为双缝S、S的中点，双缝S、S的连线的中垂线与屏的交点为P，设P与P的距离为X，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下Ld，在这种情况下由双缝S、 12120101S2发出的光到达屏上
7、P1点的光程差Ar为S M=r r dsinO,(1)其中0也是OP0与OP1所成的角。 因为dL,0很小，所以xsinOtanO=I,x因此 Ardsin0d|x当Ard| =k入时，屏上表现为明条纹，其中k=0, 1, 2, ,(3)x1当Ard| =(k + )入时，屏上表现为暗条纹，其中是k=0, 1, 2, 。(3)我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。L当x=y入时，屏上表现为明条纹，其中k = 0, 1, 2,。(4)1 L当x=(k+ ) - X时，屏上表现为暗条纹，其中k=0, 1, 2,。(4)2d我们还可以算出相邻明条纹(或者暗条纹)中心问的距离为Lx = xk x
8、k=d X。(5)至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式Ar = r r -dsin 0的时候，此式近似成立的条件是ZS P S很小，因此有S MS P , SM 211 1 212 11OP，因此ZPOP =ZSSM，如果要保证ZSPS很小，只要满足dL即可，因此Ardsin。是满足的。 1012 11 1 2第2次近似是因为d5。时，sinOsinO-tan。就不再成立。而在杨氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是x5时，sinO-tan。就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，(2)式就不能再用了。, ,X此匕
9、时sinO= . rL + X 2dx所以，&dsinO= =k入，屏上表现为明条纹，其中k = 0，1，2，L2 + X 2dx ,1、 一.，一 rdsinO= .= = (k+g )入，屏上表现为暗条纹，其中k = 0，1，2，。vL2 + X 22 L砍_因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x= d k =，屏上表现为明条纹，其中k=0，1, 2,，L(k + 顼x=2，屏上表现为暗条纹，其中k = 0，1，2，。:1 .,.d 2 - (k +)2 人 22则相邻的明条纹中心问距为_L(k + 1)人_LkX明k+l 明 k 明；d 2 - (k + 1)2 人2d 2 - k
10、 2人2邻暗条纹中心间距为x 暗= Xk+i 暗一 xk 暗L(k + 人L(k +1 + 2)人：1 .d 2 (k + 1 + )2 人 2、d 2 (k + )2 人 2；22由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。例1 ：用氮氖激光器（频率为4.74X 1014Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。解：因为&=dsinO = k，所以dsinOvdsinO4.74X 1014X2 X 10-3X sin5入c =3.0X108-2.8O考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。
