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1、排列组合的综合应用专题讲座及同步训练（有详细解答）一、明确复习目标1. 加深对排列、组合意义理解；2. 掌握有关排列、组合综合题的一些常用解法；3. 学会分类讨论的思想，提高分析问题和解决问题的能力.二, 建构知识网络解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还 是分步，是排列还是组合，透过问题的表面现象，看出问题的数学本质.然后，要掌握一些 常见类型的排列组合问题的解法：1. 优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或说是“先解决特殊元素或特殊位置”.2. 分类分步法:对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到 分类明确，层次清楚，不重不漏.
2、如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有A1 A4 + A1 A4 A2A3 =156种 排法。3. 排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4. 捆绑法:某些元素必相邻的排列.可以先将相邻的元素“捆成一个”元素与其它元 素进行排列，然后再再给那“一捆元素”内部排列.5. 插空法:某些元素不相邻的排列.可以先排其它元素然，再让不相邻的元素插空；6. 插板法：n个 相同元素，分成m（mWn）组，每组至步一个的分组问题一一把n个元 素排成一的排，从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板，有Cm1.n1例如:n个相同的小球分给m个人,每人至少一个小球的分法有Cm1种分法.
3、n 1如果没有“每人至少一个”的限制，则需设想“每人先献出一个小球”，再对n+m个 小球用“插板法”，有Cn+m1种.7. 分组、分配法：n+m分组问题（分成几堆，无序）.有等分、不等分、部分等分之别。一般地平均分成n堆 （组），必须除以n!,如果有m堆（组）元素个数相等，必须除以m!例如：6本不同的书分成三组，分别是1本、2本、3本，共有C1C2C3 =60种分法;6本不同的书分成三组，每组2本，共有C5C2C2-3! =15种分法；6本不同的书分成三组，分别是1本、1本、4本，共有C1C1C4-2! =15种分法； 分配问题（有序分组）：逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,
4、依次得3、2、2本，有C3C2C2 =2107 4 2种分法。如果不明确谁得3本，谁得2本呢？（先分组再分配，或先确定确定得3个球，再逐个分）8. 错位法:编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一 个小球要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列特别当n=2,3,4,5时的错 位数各为1,2,9,44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、 3个、4个元素的错位排列的问题：三、双基题目练练手1. （2005湖北文）把一同排6张座位编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号
5、，那么不同的分法种 数是（）A. 168B. 96C. 72D. 1442. （2006北京）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有A.36 个 B.24 个 C.18 个D.6 个3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）A.234B.346C.350D.3634. （2005江苏）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品， 有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没 有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的， 现打算用编号为、的
6、4个仓库存放这8种化工产 品，那么安全存放的不同方法种数为（）A. 96B.48C.24D.05. 某校准备参加2008年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有种.6. （2006陕西）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种7. （2005春北京）从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有 个，其中不同的偶函数共有 个.（用数字作答）8. （2005 浙江）从集合O, P, Q, R, S与0,
7、 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中各任 取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.每排中字母O, Q和数字0至多只能出现 一个的不同排法种数是.（用数字作答）.简答:1-3.DBBB; 3. （1）前排一个，后排一个，2C； C；2=192.（2）后排坐两个（不相邻），2 （10+9+8+1） =110.（3）前排坐两个，2 - （6+5+4+4+3+2+1） =44 个.总共有192+110+44=346个.解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.总共有入29 +2+2=346个.答案：B4. 先把标号为1, 2, 3, 4号化工产品分别放入4个仓库内
8、共有普=24种方攵 法；再把标号为5, 6, 7, 8号化工产品对应按要求安全存放：7放入，8放入，5放入，6放入;或者6放入&,7放入，8放入，5 放入两种放法.综上所述:共有普x 2=48种放法.故选B.5. 用隔板法：C7=C 2 =36. 6. 600; 7. 18 6;8. 8424.四、经典例题做一做【例1】设有编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球和编号为1, 2, 3, 4, 5的五个盒子， 现将这五个球放入5个盒子内（1）只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？（2）没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（3）每个盒子内投方攵一球，并且至少有两个球
9、的编号与盒子编号是相同的，有多少 种投攵方法？解：（1） C 2A4 =1200 （种）（2）A;-1=119 （种）（3）不满足的情形：第一类，恰有一球相同的放法：Cix9=45第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：先让1号球放，1号球放到哪个盒中就让哪个球放，有4x（2+3x3）=44 （种），二满足条件的放法数为：A5-45-44=31 （种）5【例2】某运输公司有3个车队，每个车队有10辆汽车，现从这3个车队中选派6 辆汽车执行一项运输任务，每个车队至少1辆共有多少种选派方法？分析：这里所谓不同的选派方法，只是每个车队派车数目的不同，是相同元素的 分组问题一一用“插板法”解：把6
10、个派车指标排成一排，是一种排法，有5个空，插2个板，分成3组即可，共有 C|=10 （种）拓展引伸：方程x+y+z=7有多少组正整数解？（看成7个相同的元素分给3人）若求方程x+y+z=7有多少组自然数解呢？（让3人每人拿出1个元素，如上法分 10个元素）【例3】某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化 学三种竞赛，要求每科均有一人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中共有男女 同学多少人？解：设有男生n人，女生8-n人，则有C2C； A3 =180即(n-1)n(8-n)=60.又 2 n 7,1 8 一 n 6,60的小于等于7的因数有1、2、3、4、5、6
11、，因为n-1和n相邻，.n=5,8-n=3，即男生5人，女生3人，或n=6,8-n=2，即男生6人，女生2人。提炼方法1.引进待定的未知数，列方程求解；2, “先取元素，后排顺序”.一类重要题型和方法。【例4】一栋7层的楼房备有电梯，现有A,B,C,D,E五人从一楼进电梯上楼，求(1) 有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数.(2 )在(1 )的条件下，一层只能下1个人，共有多少种情况？解:(1)分A上不上7楼两类：A上7楼，有54种；A不上7楼，有4X4X43种.共有 54+ 4 X 4 X 43=1649 种.(2) 分2楼下人和不下人两类，每类再分A上不上7楼两种情况
12、.2楼下人，有C；(A4 + A2A4)种；2楼不下人，有A5种共有 C3(A4 + A2A4) + A5 =504 种情况.提炼方法4题(1)是计数原理,题(2)是排列组合,应注意区分.【研讨.欣赏】(1)一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个 空椅子，共有几种不同的坐法？(2) 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共 有多少种不同的坐法？解：(1)先将3人(用X表示)与4张空椅子(用口表示)排列如图(XOOXO X)，这时共占据了 7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示(I XOIOXOIOXI)，从4个空当中选2个插入，有C
13、2种插法；二是2张同时插入，4有C4种插法，再考虑3人可交换有A3种方法.所以，共有 A3 (C：+C4 ) =60 (种).下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排 空椅子，有A：C；种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法， 所以所求的坐法数为A3 C2=60.(2)可先让4人坐在4个位置上，有A4种排法，再让2个“元素”(一个是两个作4为一个整体的空位，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空当”之间，有A2 种插法，所以所求的坐法数为A4 A2=480.五. 提炼总结以为师51. 对排列、组合的应用题应遵循
14、两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事 件发生的过程进行分步.2. 对于有附加条件的排列组合应用题，应掌握以下基本方法与技巧（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）先选后排；（4）相邻问题 捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处 理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.3. 记住一些常题型的特殊解法;如捆绑法，插空法，排除法，插板法，分组、分配等.同步练习排列组全的综合应用【选择题】1. （2006天津）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使 得放入每个盒子里的球
15、的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A. 10 种 B. 20 种 C. 36 种D. 52 种2. （2005湖南）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲.乙 两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得一100分；选乙题答对得90分， 答错得一90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A.48B.36C.24D.18【填空题】3. 某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有 种.4. （2005辽宁）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2 相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共 个.（用.数字作答）5. （2006辽宁）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少 有1名新队员的排法有种（以数作答）6. 有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗 小组至少有2
