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1、形如y=aQ+bx+c （%b，c是常数,a#0）的函数叫做二次函数函数的自变量x是否可以取任何值 呢？当二次函数表示某个实际问题时，还必 须根据题意确定自变量的取值范围.二次函数的一般形式函数y = ax2 + bx + c其中a、b、c是常数切记：aO右边一个x的二次多项式（不能是分式二次函数的特殊形式：E当 b = 0 时，y = ax2 + c 当 c = 0时，y = ax2 + bx 当b = 0, c = 0时，y = ax2下列函数中，哪些Jt二次函数？(l) y=3x-l(3)y=3x3+2x2(2) y=3x2(4)y=2x2-2x+l(5)y=x 乜 +x(6)y=x2-
2、x(l+x)当m取何值时,分另!JJSt次函数？ 反比例函数？二次函数?（一）形如y = ax2 （aHO）的二次函数二函数 予岁称帥 顶点坐标y = ax2（二）形如y = ax?+k （日HO）的二次函数二次函数开口方向a 0向上1 a 0 |向下对称轴EQ3顶点坐标二次函数开口方向对称轴顶点坐标y = a (x h)2a 0L（三）、形如y = a （x h） 2（ aMO ）的二次函数巩固练习1：(1)抛物线y =B 啲开口向_,对称轴是一 顶点坐标是，图象过第象限；(2)已知y = - nx2 (n0),则图象(1(填“可能”或“不可能”)过点A (-2, 3)。4WB-5(3)抛物
3、线y = x2+3的开口向，对称轴是顶点坐标是，是由抛物，y甲x 2向平移_个单位得到的；-4 (2)已知(如图)抛物线y = ax 2+k的图绑 则a_0, k_0；若图象过A (0,-2)和B(2, 贝！Ja =,k =；函数关系式是y =。(四)形如y = a (x+h)2 +k (a MO)的二次函数二次函数开口方向对称轴顶点坐标y = a (x+h)2+k向上向下练习巩固2:(1) 抛物线y = 2(x-3严+1的开口向对称轴,顶点坐标是(2) 若抛物线y = a(x+m)2+n开口向下，顶 点在第四象限，则a_0, m_0, n0。2、已知二次函数y=- y x2+bx-5的图象的
4、 顶点在y轴上，贝！|b= o观察y二x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的 图象是怎样由y=x2的图象平移得到的？y=x2-6x+7 =x2-6x+9-2 =(x-3) 2-21 由y=2x2的图象向左平移两个单位，再向下平移三个单位，得到的图象的函数解析式为2由函数y二-3(x-l)2+2的图象向右平移4个单位， 再向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式逆向思考，由y=x2-6x+4 =(x3)25知:先向左平移3个 单位，再向上平移5个单位函数 y=ax2+bx+c (a=#0)抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:(1) a的符号由抛物线的开口方向确定开口向上a
5、0开口向下 a0(2) C的符号:由抛物线与y轴的交点位置确定.交点在x轴上方 c0交点在x轴下方=cvO 经过坐标原点c=0(3) b的符号：由对称轴的位置确定 对称轴在y轴左侧a、b同号 对称轴在y轴右侧 a、b异号 对称轴是y轴b=0(4) b2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定 b2-4ac0 b2-4ac=0 b2-4ac0与x轴有两个交点V 与x轴有一个交点 与x轴无交点 17根据下列表格中二次函=ax2+bx+c的自变量与函数值的对应值，判断方程a兀2十加+c =0（舜0弋为常数）的一个解的范围是6.176.186.196.200.04y=ax2+bx+c -0.03-
6、0.010.02A. 6.17V XV6.18B. 6.18V X V6.19C- -0.01 X 0.02D. 6.19 X 6.203、已知二次函数 的图象如图所示，则函数 的图象只可能是（）0XoX3)(C)Q)(A)(16)小明从右边的二次函Hy=ax2+bx+c的图 象观察得出下面的五条信息：0；c=0；函数的最小值为3；当%x1x2y2你认为其中正确的个数有( )A. 2B. 3D. 5C. 4练一练：已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,a0, b v 0. c0, abcb2a, 2ab0, 2a+b 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-
7、4ac 0选择(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是A直线x=l B直线x= -1 C直线x=2 D直线x=2(2)抛物线y=3x2l的A开口向上，有最高点C开口向下，有最高点B开口向上，有最低点D开口向下，有最低点(3)若y=ax2+bx+c(a 丰 0)与轴交于点 A 0), B(4,0), 则对称轴是A直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x=3(4)若y=ax2+bx+c(a 丰 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m), 则对称轴是A直线x=3 B直线x=4 C直线-3 D直线x=21、已知抛物线上的三点，通常设解析式为I y=ax2+bx+c(a#0)| 已知抛物线顶
8、点坐标(h,k),通常设 抛物线麻析式另y=a(xh)2+k(a#) I3、已知抛物线与x轴的两个交点(勺，0)、 (x/)，通常设解析式为y二a(xxj(xx2)(a帛练习 根据下列条件，求二次函数的解析式I。、图象经过(0, 0), (1, -2), (2, 3)三=i(2) 、图象的顶点(2, 3),且经过点(3, 1)；(3) 、图象经过(2, 0), (3, 0),且最高点的纵坐标是3。大值是2,图象顶点在直线y=x+l, 且图象经过点（3,6） o隶a、b、c解：二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2 又抛物线的顶点在直线y=X+1上 当y=2时，x=1顶点坐标为（1 ,设二
9、次函数的解析式为y=a（x-1尸+2 又图象经过点（，）/. =a ( -1 )2+2/. a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1尸+2即：y=-2x2+4x1.已知抛物线y=ax y= (x-1) 2+5 (3) y=- (x_1) 2+5+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同，顶点在直线x=l上，且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.抛物线y二ax?+bx+c与抛物y=-x2-3x+7的形状相同.或T又顶点在直线口上且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或-5)所以其解析式为: y=(xT)2-5 y二一 (x_1) 2-5c 4dm. ri2.若a
10、+b+c=O厂平移4个单位1解：丁二次函数的对称轴是x=1抛物线的虞i?|SSy=2x+4由a+b上牟bxl的对称轴是x=l , 2x+4 上。(2)新挽当x=1时，y=6 再咼&顶点坐标为二8)练习1、已知抛物线$ 最高点在直(1) 求此抛松线的顶点坐标.求抛物线解析式.y/ J 例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴 别交于A、B两点与y轴负半轴交于点C。若0A=4, 0B=1 NACB=90。,求抛物线解析式。解：点A在正半轴，点B在负半轴OA=4, 点A (4, 0) OB=1, 点B (-1, 0)V ZACB=90 0 C丄 AB二 Z CAO=ZBCOZ CAO+
11、ZOCA=90, ZOCA+ZBCO=90 AZBOC=ZCOA, A AB 0 CACOA OB/OC = OC/ AOC=2,点C (0, -2) 由题意可设y=a (x+ 1 ) (x 4 )得： a ( 0 + 1)( 0-4) =一2a= 0.5 y= 0 5 (x+ 1 )(x 4 )、当X为何值时，y随X的增大而增尢(2) 、当x为何值时，y0o、求它的解析式和顶去解：当x=15时Y=-1/25 x 152河平省赵县砂纳挪勺桥to湖勿戎型丿唇評冒所! DS|置X跻；LAm某商场将进价40元一个的某种商品按50元一 个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元, 销量减少10
12、个，为赚得最大利润，售价定为多少？最 大利润是多少？分析：利润=（每件商品所获利润）X （销售件数）(1)个商品所获利润可以表示为设每个涨价X元，那么 LL旦翌須）销售量可以表示为(4)共获利润可以表示为（刃*力丿（刃S3丿丿匚鼎浮曲鬻黠器元 芻髯鈿为赚得最大利润，售价定为錢最*解 y=(5040)(50040x) =-10 x2 +400x5000 =-10 (x20) 2 +9000(0 x50，且为整数)答：定价为70元/个，利润最高为9000元如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方 米。(1) 求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2) 当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3) 若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 解：(1) V AB为x米、篱笆长为24米花圃另一边为(24-4x)米 S=x (244x)(0x6)s最大值=(2)当 x二时，=36 (平方米)= 4x2+24 x(3) 墙的可用长度为8米/ 0244x 84x6当x=4m时，S最大值=32平方米如图，在/kABC中，AB=8cm, BC=6cm, ZB=90 ,PQ点P从
