数列极限的求法

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1、精选优质文档-倾情为你奉上内 容 提 要数列极限可用语言和语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的各种性质及其不同求法，例如：唯一性、保号性、有界性、可加可乘性、保序性、迫敛性、极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词定义；夹逼准则；Stoltz公式；数列极

2、限：数列极限的性质；求数列极限的各种方法；数列极限的实际应用目录第一章 数列极限的概念11.1数列极限的概念11.2常用定理公式2第二章 收敛数列的性质4 2.1唯一性42.2有界性42.3保号性42.4保序性52.5迫敛性52.6可加、可乘性6第三章 数列极限的求法73.1极限定义求法73.2极限运算法则求法83.3夹逼准则求法103.4单调有界求法113.5函数极限法123.6定积分定义求法133.7Stoltz公式法143.8集合算术平均收敛公式法153.9级数法163.10 其他方法18第四章数列极限在现实生活中的应用204.1 几何计算计算面积204.2 求方程的数值解.214.3

3、市场经营中的稳定性问题224.3.1 零增长模型224.3.2 不变增长模型234.4购房按揭贷款分期偿还24第五章 结论26参考文献27第一章 数列极限的概念 在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础.1.1 数列极限的定义及分类 数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积在无限增大（）时，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.

4、针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：定义，定义.定义1（语言）：设是个数列，若存在常数，对于任意给定的正数，都存在一个正整数，使得当时，都有，则称是数列的极限，或称收敛于，记作，或.这时，也称的极限存在.定义2（语言）：若,存在正整数，使得当时，都有,则称是数列当无限增大时的非正常极限，或称发散于，记作或，这时，称有非正常极限. 对于的定义类似，就详作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若和为收敛数列，则也都是收敛数列，且有 若再假设及，则也是收敛数列，且有 .定理1.2.2（单调有界定理）

5、 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（Stoltz公式） 设有数列，其中严格增，且（注意：不必）.如果 （实数，），则 定理1.2.3（Stoltz公式） 设严格减，且，.若 （实数，），则 .定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设，则（1） ，（2） 若，则.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时，有 ，则数列收敛，且.定理1.2.6（归结原则）设在内有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.第二章 收敛数列的性质定理1.2.1（唯一性）收敛数列的极限值是唯一的。（若数列收敛，则它只有一个极限。）证 设设=a

6、，又设=b由定义，对于0，N1，N2使得当nN1恒有an-a；当nN2恒有an-b；取N=max N1，N2，则当nN时有xn-a xn-b即a-ban-a+an-b由的任意性，a=b，故极限唯一定理1.2.2（有界性）收敛的数列必有界。证 设=a，由定义，取=1，则N，使得当nN时恒有an-a1，即有a-1ana+1.记M=maxa1，an，a-1，a+1，则对一切自然数n皆有anM，故 an有界。推论：无界数列必定发散注意：有界数列是数列收敛的必要条件定理1.2.3（保号性）设是以a为极限的收敛数列，我们有（1） 若a0，则对任意的；a0，存在N，使得当nN时，有an。（2） 若a0，则对

7、任意的；a0，存在N，使得当nN时，有an。证 （1）取=a-0，根据极限的定义，知存在N，使得当nN时，有 a-ana+，ana-（a-）=，nN （2）证明类似，略定理1.2.4（保序性）设数列an与bn收敛，若存在整数N0,使得当nN0时有anbn，则anbn证 设an=a，bn=b；若ab，则对=（a-b）0，正整数N1，N2使得当nN1恒有an-a；即有ana-=（a+b）；当nN2恒有an-b 即有bnb+=（a+b）；取N=max N0, N1, N2,当nN时an（a+b）bn与条件相矛盾定理1.2.5（迫敛性）设三个数列an，bn与 cn 满足（1）ancnbn （n=1,2

8、,3）（2）an=bn=a,则 cn 必为收敛列，且其极限也为a。证 任给0，由题设（2）可知，存在（共同的）N，使得当nN时，有an-a bn-a由此知，当nN时， a-an a+bn由（1）得a-cna+ nN。这说明 cn 是收敛列，且极限为a注意：（1）若条件（1）换作ancnbn(n=1,2,3)则结论任成立 （2）本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。定理1.2.6（可加性、可乘性、可除性）设数列anbn是收敛数列且an=Abn=B则（1）（anbn）=AB（2） an bn=AB（3） an/ bn=A/B 期中B0注意：bn为常数C时有（anC）=A

9、C an C=cA第三章 数列极限的求法3.1极限定义求法 在用数列极限定义法求时，关键是找到正数.我们前面第一节TH2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.例3.1.1，其中.解：.事实上，当时，结论显然成立.现设.记，则. 由 ,得 . （5）任给，由（5）式可见，当时，就有.即.所以.对于的情况，因，由上述结论知，故 .综合得时，.例3.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由，则，存在，使当时，有 ,则 .令，那么 .由，知存在，使当时，有.再令,故当时，由上述不等式知 .所以 .例 3.1.3 求.解：. 事实上，.即.对，存在，则当时，便有所

10、以.注：上述例题中的7可用替换，即.3. 2极限运算法则法 我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.例3.2.1求,其中.解：分子分母同乘，所求极限式化为 .由知，当时，所求极限等于；当时，由于，故此时所求极限等于0.综上所述，得到 例3.2.2，其中.解: 若，则显然有；若，则由得 ；若，则 .3. 3夹逼准则求法 定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具.例3.3.1求极限.解：因为 ，所以 .因 ，再由迫敛性知 .例3.3.2求数列的极限.解： 记，这里，则 ,由上式得 ，从而有 , （2）数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得 .例3.3.3设及，求.解：.事实上，先令，把写作，其中.我们有 .由于，可见是无穷小.据等式 ，注意到，由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明，可表为有限个（个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 .3.4单调有界定理求法 有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，