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1、“分段函数”的应用案例开元职校 吴为在寻常数学教学中呈现出来的书本世界抽象性太强，与真实的世界有着不少的差距， 因此很多不爱数学的学生就常常会把数学与生活剥离开来。事实上，数学与生活是密不行分的。以下是我们生活中常见的几个例子。案例一：目前杭州市出租车的运价标准为：起步价是前4 公里 10 元，根本单价每公里2 元，在运送途中因红灯或乘客缘由停车时，累计5 分钟以 1 公里计。太原市出租车的运价标准为：日间起程价前 4 公里 7 元，根本单价每公里 1 元；夜间起程价前 4 公里 7.8 元，根本单价 1.2 元公里；停车等待计费标准为累计 5 分钟以 1 公里计。案例二：近年来，由于用电紧急
2、，用电本钱增加，为使居民节约用电，浙江省2023 年8 月 1 日抄见电量开头执行的居民生活用电价格。一户一表居民用户实施阶梯式累进电价： 月用电量低于 50 千瓦时含 50 千瓦时局部不调整；月用电量在 50 千瓦时200 千瓦时局部，电价每千瓦时上调 0.03 元；月用电量超过 200 千瓦时局部，电价每千瓦时上调 0.10 元。执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进展计算。居民合表用户和学校等集 体用户的电价每千瓦时上调 0.02 元。双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半 按原电价计算，另一
3、半依据调整后电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。案例三：中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的局部不必纳税，超过 800 元的局部全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过 500 元的局部税率为 5%；超过 500 元至 2023 元的局部税率为 10%；超过 2023 元至 5000 元的局部税率为 15%；超过 5000 元至 20230 元的局部税率为 20%；超过 20230 元至 40000 元的局部税率为 25%；超过 40000 元至 60000 元的局部税率为 30%；超过 60000 元至 80000 元的局部税率为 35%；超过 80
4、000 元至 100000 元的局部税率为 40%；超过 100000 元的局部税率为 45%。在实际生活中，与上述三个案例类似的例子不胜枚举，它与学生们的生活悉悉相关， 其中表达出的分类争论的数学思想方法在数学学习中常常遇到。在分析上述三个例子中，我们常用到分段函数这一数学学问，虽然在职高数学教材中并没有特地哪一节具体表达分段函数的内容，但由于这一学问点在生活中的常见性，同时为帮助学生更好把握分类争论的数学思想方法，笔者进展了“分段函数的应用”的教学设计。由于案例是从生活中来，所以教学主要以学生进开放放式争论为主，在自主争论与老4师引导相结合的情形下，逐步把所学学问应用到实际问题中，提高解决
5、问题的力气。开头进展案例争论，也就意味着教师向学生提出问题，并给学生确定的时间去思考。 一般地说，我们要提的问题一类是引导性问题，一类是非引导性问题。典型的引导性问题的提问方式是：“你认为对于这个案例，我们下一步应当做些什么?”典型的非引导性问题的提问方式是：“对于这个案例，你想说些什么。”或者“这个案例交给你了，你先来谈谈自己的看法。”在案例中所反映出的问题假设对学生来说过于简洁，教师就要预备对学生多予以引 导；假设不是太简洁，就要更多地催促学生进展多种多样的参与。对案例中的问题争论后，学生至少会有两种或更多的备选方案消灭，在认真争论最重 要的或最适宜的方案的优越性前，就越需要削减掉其中的一
6、些不适宜的方案。有时有些方案 或方法听上去很动听，是一个很好的方法，但可能不太切合实际，成功的可能性较小。这时， 教师可以和学生一起一个一个地进展争论，对备选方案进展更认真、更深入的争论，引导学生充分调动所学学问，并结合生活实际，写出每种方案的优点与缺点，然后进展比照分析， 最终在此根底上确定出一个最正确的方案。这种做法，意味着会淘汰某些同学所提出的一些方案或方法，这时，教师要留意保护 学生的争论乐观性，要避开自己或其他学生有可能说出的有伤自尊的话，尽量把学生的留意 力集中到问题的争论上，让成功的学生找到自信，让失败的学生在争论中反思自己的方法， 从中获得提高。在案例教学中，让学生通过争论案例
7、当中涉及到的各种各样问题，也就渐渐学会了如何去分析问题，遇到类似的情境或问题该如何对待，从哪些方面着手，同时也就把握了如何对自己的所学进展反思。这正是我们数学教学的最终目的。附：“分段函数的应用”教学设计一份。分段函数的应用教学目标：1使学生把握分段函数的表达式；2学会运用分类争论的数学思想方法. 教学重点：分段函数的在实际问题中的应用.教学难点：分类争论思想的应用.教学手段：案例教学法，开放式教学，争论法教学过程：一、案例引入：近年来，由于用电紧急，用电本钱增加，为使居民节约用电，浙江省 2023 年 8 月 1 日抄见电量开头执行的居民生活用电价格。一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用
8、电量低于 50 千瓦时含 50 千瓦时局部不调整；月用电量在 50 千瓦时200 千瓦时局部， 电价每千瓦时上调 0.03 元；月用电量超过 200 千瓦时局部，电价每千瓦时上调 0.10 元。执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进展计算。居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调 0.02 元。双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半依据调整后电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。另：未安装峰谷电的用户价格为每度 0.53 元；安装峰谷电的用户计价方法为：从早上8 时至
9、晚上 10 时为峰电，价格为每度 0.56 元，从晚上 10 时至次日早上 8 时为谷电，价格为每度 0.28 元。附：“千瓦时”是一电量单位，即我们寻常常说的“度”。二、案例争论：1. 争论：（1） 假设你是一位一般用户，你最关心的是什么？（2） 上述案例中指出了多少种不同的用户？（3） 依据实际生活阅历，我们要争论的重点是哪一类或哪几类用户？2. 计算：（1） 假设甲用户未安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为 150 度，按规定他应缴纳多少电费？1500.53150500.0382.5 元（2） 假设乙用户已安装峰谷电，单月抄表，某月抄见总电量为285 度，其中峰电 150 度， 谷电
10、135 度，按规定他应缴纳多少电费？ 1500.561350.28200500.032852000.10134.8 元（3） 假设丙用户已安装峰谷电，双月抄表，某月抄见总电量为360 度，其中峰电 160 度， 谷电 200 度，按规定他应缴纳多少电费？ 1600.562000.283601000.03153.4 元3. 计算公式归纳：假设你是一名电力局的工作人员，你如何向甲、乙、丙三种用户解释的收费标准， 你能否告知他们每次缴纳费用与抄见电量之间的一个通用的计算公式？允许学生有多 种不同的表达方法，最终让学生争论出最正确方案。（1） 对于甲用户：设他某月抄见电量为 x 度，应缴纳电缆费为 y
11、 元，则 0.53 xy = 0.53 x + ( x - 50) 0.03 0.53 x + (200 - 50) 0.03 + ( x - 200) 0.10x 0, 50x (50, 200x (200, + )（2） 对于乙用户：设他某月抄见电量为 x 度，其中谷电量为 y0yx度，应缴纳电缆费为 z 元，则 0.56( x - y ) + 0.28 yz = 0.56( x - y ) + 0.28 y + ( x - 50) 0.03 0.56( x - y ) + 0.28 y + (200 - 50) 0.03 + ( x - 200) 0.10x 0, 50x (50, 20
12、0x (200, + )（3） 对于丙用户：设他某次抄见电量为 x 度，其中谷电量为 y0yx度，应缴纳电缆费为 z 元，则 0.56( x - y ) + 0.28 yz = 0.56( x - y ) + 0.28 y + ( x - 100) 0.03 0.56( x - y ) + 0.28 y + (400 - 100) 0.03 + ( x - 400) 0.10x 0, 50x (50, 200x (200, + )4. 比较：由易知，乙、丙两用户在缴纳费用标准上是全都的，以下我们仅以甲、乙两用户作为比较对象。请问，这两用户在费用缴纳上，哪个更划算？假设两用户抄见电量一样，均为
13、x 度。由知，两用户在缴纳费用标准下，上涨的费用是一样的。所以要比较两用户的费用，只需比较 0.53x 与 0.56xy0.28y 的大小，则应争论谷电量 y 在总电量 x 中所占百分比的多少。当 0.53x0.56xy0.28y 时，即谷电量占总电量百分比大于 11%时，乙用户比较划算；5. 回归：有人说：“依据现在的算法，峰电和谷电的上涨幅度是一样的，超过 200 度局部，峰电从 0.56 涨到 0.66 看起来还好，可是谷电从 0.28 涨到 0.38 上涨幅度大得惊人。我做了一个计算： 假设一家总用电 500 度，以峰电 250 度，谷电 250 度计，那么没有涨价前总费用 210 元
14、，上涨34.5 元，总计244.5 元，上涨16.43。假设以峰电 200 度，谷电300 度计这是大局部人家家里的模式，前提是晚上睡得很晚，或早上起的很早，那么没有涨价前总费用 196 元，上涨34.5 元，总计230.5 元，上涨17.60。假设不用峰谷电上涨前总费用 265，上涨 34.5 元，总计 299.5 元，上涨 13.02。可见谷电用得越多， 上涨幅度越大，也就是说通过上涨以后，原来峰谷电的优势越来越小。更何况这还不算 上安装峰谷电的初装费 100 元。”对以上说法你有何看法？可以有不同看法，但须讲出自己的理由。没有争论出的结果可以留待课后连续争论。三、案例小结：对上述案例的争论中，我们运用分段函数的形式表述了不同阶段的用电费用状况。（1） 在实际生活中，涉及不同阶段不同结果的情形下，通常都可用分段函数来解释；（2） 在分析问题中，用到分类争论法时，应留意分类标准的唯一性以及分类的完备性。四、案例扩展：（1） 中华人民共和国个人得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的局部不必纳税，超过 800 元的局部全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过500元的局部税率为 5%；超过 500 元至 2023 元的局部税率为 10%；超过 2023 元至 5000元的局部税率为 15%；超过 5000 元至 20230 元的局部税率
