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1、动态平衡问题专题一一临界、极值问题平衡物体的临界问:某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出 现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状 态将要被破坏而尚未破坏的状态。涉及临界状态的问题叫做临界问 题,解答临界问题的基本思维方法是假设推理法。平衡物体的极值问题:受几个力作用而处于平衡状态的物体,当其 中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时,为了维持物体的平 衡,必引起其它某些力的变化,在变化过程中可能会出现极大值或 极小值的问题。研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法。1跨过定滑轮的轻绳两端,分别系着物体A和B,物体
2、A放在倾角 为。的斜面上,如图。已知物体A的质量为m,物体A与斜面间 的动摩擦因数为 (/VtanO),滑轮的摩擦不计,要使物体A静止 在斜面上,求物体B的质量取值范围。解析:先选物体B为研究对象,它受到重力Bg和拉力七的作用, 根据平衡条件有:尸T = mBS 再选物体A为研究对象,它受到重力mg、斜面支持力尸N、轻绳拉 力尸T和斜面的摩擦力作用,假设物体A处于将要上滑的临界状态, 则物体A受的静摩擦力最大,且方向沿斜面向下,这时A的受力情况如图乙所示,根据平衡条件有:尸N - mgcosO = 0Ft - Ffm - mgsinO = 0由摩擦力公式知:尸而二以联立四式解得 = m(sin
3、。+ pcos。).再假设物体A处于将要下滑的临界状态,则物体A受的静摩擦力最大,且方向沿斜面向上,根据平衡条件有:FN-mgcos6=0Ft + Ffm - mgsinO - 0联立 四式解得mB = m(sin - picos0).故,物体B的质量的取值范围是:m(sin - picosO) % 300N ;当轻杆承受的压力尸2最大时,细绳所受的拉力F=F2 tan30=100V3 N 200N由此可以当物体的重力逐渐增加时轻杆承受的压力先达到最大Jit时物体的重力达到最大.当F. =300N时,尸 =2maxFCcos30o=200 招 N所以在B端所挂物体的最大重力为2003 N .答
4、:在B端最多能挂200/3N的物体.3半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB,结于圆心O,下悬重 为G的物体,使OA绳固定不动,将OB绳的B端沿半圆支架从水 平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中,OA绳和OB绳所受的力 大小如何变化?c解析:OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中,物体始终处于平衡状态,找出不变的物理量,画出平行 四边形进行分析.对结点O受力分析如图:结点O始终处于平衡状态,所以OB绳 和OA绳上的拉力的合力大小保持不变,方向始终是竖直向上的.所以0A绳受力大小变化情况:逐渐变小;OB绳受力大小变化情 况是:先变小后变大4如图,一倾角为0的固定斜面上有一块
5、可绕其下端转动的挡板P, 今在挡板与斜面间夹一个重为G的光滑球,试分析挡板P由图示位 置逆时针转到水平位置的过程中,球对挡板的压力如何变化?p解析:受力分析如图,将与尸2合成,其合力与重力等大反向如 图:挡板转动时,挡板给球的弹力与斜面给球的弹力尸2合力大小方 向不变,其中尸2的方向不变,作辅助图如上,挡板转动过程中,的方向变化如图中a、b、c的规律变化,为满足平行四边形定则, 其大小变化规律为先变小后变大,其中挡板与斜面垂直时为最小.与此对应,尸2的大小为一直减小.根据牛顿第三定律,球对挡板的压力是先减小后增加,对斜面的压力是不断减小。【同类题】在倾角为30。的斜面上,固定一挡板,在挡板和斜
6、面之 间放置一重为G=20N的光滑圆球,如图甲和乙所示.(1) 试求出两种情况下,斜面和挡板对球的作用力分别为多大?(画出正确的受力分析示意图)(2) 若挡板可绕其下端逆时针从甲图的位置缓慢转到水平的过程 中,试通过作图分析说明斜面和挡板对小球的作用力大小如何变 化?解析:(1 )对球受力分析如图所示:由于光滑圆球受共点力处于静止状态,所以光滑圆球的合力为0 .将M在水平方向和竖直方向分解,由共点力平衡的条件得出:甲,斜面对球的作用力:N| =孚冶区=域c o sJ U33 N ,挡板对球的作用力:陷=m段tan30。=具ra段二3= 3 n ;乙,斜面对球的作用力:= mgcos30 =挡板
7、对球的作用力:光=抻修23。=;用&TON .(2)受力分析如图,将叫与区合成,其合力与重力等大反向,挡板转动时,挡板给球的弹力叫与斜面给球的弹力合力大小方 向不变,其中的方向不变,作辅助图如上,挡板转动过程中, %的方向变化如图中a、b、c的规律变化,为满足平行四边形定则, 其大小变化规律为先变小后变大,其中挡板与斜面垂直时为最小; 故虬先减小后增大,N2 一直减小;根据牛顿第三定律,知球对斜面的压力一直减小,对挡板的压力先 减小后增大.答:(1 )甲图斜面对球的作用力是,挡板对球的作用力是 个N ;乙图斜面对球的作用力是10V?N,挡板对球的作用力是10 N .(2 )斜面对小球的作用力逐
8、渐减小;挡板对小球的作用力先减小 后增大;5:拉力尸作用于重为G的物体上使物体沿水平面匀速前进。如图, 若物体与地面间的动摩擦因数为,当拉力最小时,拉力尸与地面间的夹角。为多大?N解析:对物体受力分析,受重力、拉力、支持力和摩擦力,如图所根据平衡条件,有:水平方向:Feos ef=Q竖直方向:N+Fsin3mg=0其中:g故:FcosO-pi(mg-Fsin0) =Q 解得:F=片竺cos0 + |Lisin0令 tanep = |Li ,贝lj F= ,1 + |Ll2 C0S(9 (P)当(p =9,即tan9 =日时,cos(0 -cp) = 1 ,拉力F最小最小答:拉力尸最小时 ,0
9、tan-i 日6如图,将质量为M的木块,分成质量为tU、刀2两部分,并用细 线连接,叫置于光滑水平桌面上,质2通过定滑轮竖直悬挂,叫和 m2有何种关系才能使系统在加速运动过程中绳的拉力最大?拉力的 最大值是多少?解析:绳子的拉力T,两部分的加速度相等,则4 =竺二4 m m 12e m m m m m (M -m) g .,、T =ia g = ia- g = 11 g =(-m2 + Mm )g m +m MMM 11得i 2g/ M. M2= -rr-()2 + M i 24故,当气=号时仃最大,值为M(根据均值定理,两个正数的和一定,当这两个数相等时,积最大)7有三个质量相等,半径为r的
10、圆柱体,同置于一块圆弧曲面上, 为了使下面圆柱体不致分开,则圆弧曲面的半径R最大是多少?(所 有摩擦均不计)解析:设圆弧曲面对小球支持力的方向与竖直方向夹角为a,对整体受力分析,有:2Ncosc=3mg ,得:刖已2cosa对最上面一小球进行受力分析,有:2尸cos3(rnng,对下面的其中一个小球受力分析,有 :2Vcosa=Fcos30+mg cosa=-r + R联立得 顼=(3占+ 1)尸答:圆弧曲面的半径R最大是(30F0由式得F的最大值尸max = mg/sin 6 = 40- N由式得尸的最小值Fm.n = rng/2sin6=20- N综合得F的取值范围为20 NF40 N3
11、3此题根据绳伸直且拉力分别为零的条件求出绳的拉力范围。9如图所示,一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间,三角劈的重力为G,劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为四,劈的斜面与 竖直墙面是光滑的。问:欲使三角劈静止不动,球的重力不能超过 多大?(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)解析:对球A进行受力分析,根据受力平衡有:N= = mgcos45o对三角劈进行受力分析,根据受力平衡有: 户Mcos45又:Fn=(G+*cos45 )Wn解得:mg= G1 答:欲使三角劈静止不动球的重力不能超过 虹 .1 10如图所示,用绳AC和BC吊起一重物,绳与竖直方向夹角分别 为30。和60, AC绳能承受的最大
12、拉力为150N,而BC绳能承受的 最大的拉力为100N,求物体最大重力不能超过多少?解析:装置受力图如右图所不AC和BC两段绳子方向不变,要保持平衡,二力的拉力方向不变,二力合成的平行四边形如上图所以有 飞=总TBC而 T =150 N , T =100 NAC maxBCmax所以AC更容易被拉断(2分)此时,TMg=150NAC max 2所以 M =10v3 kg=17.3kg( 2 分)11 一光滑球重力为G,半径为R,靠着墙角静止在水平地面上,一厚度为h (h0o解析:(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解,按平衡条件有Feos。+ mg=NFsin3=f 式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有f=uN 联立得卞mgsmu 一 p-cosu(2)若不管沿拖杆方